Apakah probabilitas dipertahankan di bawah transformasi fungsi?

Saya pikir ini agak mendasar, tetapi katakan saya memiliki variabel acak , adalah probabilitas sama dengan untuk setiap fungsi kontinu bernilai nyata ?P ( X ≤ a ) P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) $X$$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Ini hanya berlaku jika secara monoton meningkat. Jika menurun secara monoton, maka . Misalnya, jika f (x) = -x , dan X adalah roll mati normal, maka P (X \ leq 5) = \ frac56 tetapi P (-X \ leq -5) = \ frac16 . Jika f beralih antara naik dan turun, maka itu bahkan lebih rumit.f P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) f ( x ) = - x P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ P(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Perhatikan ada juga kasus sepele dari , di mana sama dengan 1 jika dan 0 sebaliknya.P ( f ( X ) ≤ a ) a ≥ $f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Tidak. Ambil seragam pada dan . Kemudian . Di sisi lain .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Ini terkait dengan bertanya:

apakah untuk setiap ?$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

Mungkin ada banyak cara untuk melanggar sementara . Tetapi, dalam semua kasus, itu membutuhkan untuk menjadi fungsi yang tidak monoton.$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$