Kondisi untuk perilaku siklik model ARIMA

9

Saya mencoba memodelkan dan memperkirakan deret waktu yang bersifat siklik daripada musiman (yaitu ada pola yang mirip musim, tetapi tidak dengan periode tetap). Ini harus dimungkinkan untuk dilakukan dengan menggunakan model ARIMA, sebagaimana disebutkan dalam Bagian 8.5 dari Peramalan: prinsip dan praktik :

Nilai penting jika data menunjukkan siklus. Untuk mendapatkan prakiraan siklus, perlu memiliki bersama dengan beberapa kondisi tambahan pada parameter. Untuk model AR (2), perilaku siklik terjadi jika .p 2 ϕ 2 1 + 4 ϕ 2 < 0pp2ϕ12+4ϕ2<0

Apa kondisi tambahan ini pada parameter dalam kasus ARIMA umum (p, d, q)? Saya belum dapat menemukannya di mana pun.

MånsT
sumber
1
Sudahkah Anda melihat akar kompleks polinomial ? Sepertinya ini yang dimaksud dengan kutipan. ϕ(B)
Jason

Jawaban:

5

Beberapa intuisi grafis

Pada model AR , perilaku siklik berasal dari akar konjugat kompleks hingga polinomial karakteristik. Untuk memberikan intuisi, saya telah merencanakan fungsi respons impuls di bawah ini ke dua contoh model AR (2).

  1. Proses persisten dengan akar yang kompleks.
  2. Proses persisten dengan akar nyata.

Untuk , Root dari polinomial karakteristik adalah mana adalah nilai eigen dari matriks saya definisikan di bawah ini. Dengan nilai eigen konjugasi kompleks dan , mengontrol redaman (di mana ) dan mengontrol frekuensi gelombang kosinus.j=1,p1λjλ1,,λpAλ=reiωtλ¯=reiωtrr[0,1)ω

Detail AR (2) contoh

Mari kita asumsikan kita memiliki AR (2):

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+ϵt

Anda dapat menulis AR (p) apa saja sebagai VAR (1) . Dalam hal ini, representasi VAR (1) adalah:

[ytyt1]Xt=[ϕ1ϕ210]A[yt1yt2]Xt1+[ϵt0]Ut
Matriks mengatur dinamika dan karenanya . Persamaan karakteristik dari matriks adalah: Nilai eigen dari adalah: Vektor eigen dari adalah: AXtytA
λ2ϕ1λϕ2=0
A
λ1=ϕ1+ϕ12+4ϕ22λ2=ϕ1ϕ12+4ϕ22
A
v1=[λ11]v2=[λ21]

Perhatikan bahwa . Membentuk dekomposisi nilai eigen dan menaikkan ke kekuatan . E[Xt+kXt,Xt1,]=AkXtAk

Ak=[λ1λ211][λ1k00λ2k][1λ1λ2λ2λ1λ21λ1λ2λ1λ1λ2]

Nilai eigen nyata mengarah ke peluruhan saat Anda menaikkan . Nilai eigen dengan komponen imajiner non-nol mengarah pada perilaku siklik.λλk

Nilai eigen dengan kasus komponen imajiner:ϕ12+4ϕ2<0

Dalam konteks AR (2), kami memiliki nilai eigen yang kompleks jika . Karena nyata, mereka harus berpasangan yang merupakan konjugat kompleks satu sama lain.ϕ12+4ϕ2<0A

Mengikuti Bab 2 Prado dan Barat (2010), mari

ct=λλλ¯ytλλ¯λλ¯yt1

Anda dapat menunjukkan ramalan diberikan oleh:E[yt+kyt,yt1,]

E[yt+kyt,yt1,]=ctλk+c¯tλ¯k=atrkcos(ωk+θt)

Berbicara secara longgar, menambahkan konjugat kompleks membatalkan komponen imajiner mereka sehingga membuat Anda dengan gelombang kosinus tunggal teredam dalam ruang bilangan real. (Catatan kita harus memiliki untuk stasioneritas.)0r<1

Jika Anda ingin menemukan , , , , mulailah dengan menggunakan rumus Euler yang , kita dapat menulis:rωatθtreiθ=rcosθ+rsinθ

λ=reiωλ¯=reiωr=|λ|=ϕ2
ω=atan2(imagλ,realλ)=atan2(12ϕ124ϕ2,12ϕ1)

at=2|ct|θt=atan2(imagct,realct)

Lampiran

Catatan Peringatan terminologi yang membingungkan! Menghubungkan polinomial karakteristik A dengan polinom karakteristik AR (p)

Trik time-series lainnya adalah menggunakan operator lag untuk menulis AR (p) sebagai:

(1ϕ1Lϕ2L2ϕpLp)yt=ϵt

Ganti operator lag dengan beberapa variabel dan orang sering menyebut sebagai polinom karakteristik dari model AR (p). Seperti yang dibahas dalam jawaban ini , ini adalah persis polinomial karakteristik mana . Akar adalah kebalikan dari nilai eigen. (Catatan: untuk model yang tidak bergerak yang Anda inginkan , yang ada di dalam unit cirlce, atau ekuivalen , yang berada di luar lingkaran unit.)Lz1ϕ1zϕpzp A z = 1Az=1λz|λ|<1|z|>1

Referensi

Prado, Raquel dan Mike West, Time Series: Modeling, Computation, and Inference , 2010

Matthew Gunn
sumber
Saya terkejut saya adalah satu-satunya suara saat ini. Jawaban yang bagus!
Taylor
@Aylor Ini pertanyaan lama yang tidak aktif. :)
Matthew Gunn