Saya menggulirkan dadu yang adil. Berapakah distribusi probabilitas jumlah gulungan sampai saya pertama kali mengakumulasi: 1) Lima yang 2) 20 kemunculan wajah yang bukan satu?
Saya senang berbagi aplikasi yang sebenarnya jika itu akan membantu.
probability
negative-binomial
Alec Walker
sumber
sumber
Jawaban:
Anda melakukan tindakan yang setara dengan melempar koin dengan probabilitas 1/6 kepala sampai kepala atau ekor ("bukan kepala") telah muncul. Jika Anda telah dilemparkan itu kali, kemungkinan acara ini tidak terjadi akan diberikan oleh distribusi Binomial sebagaip = 1 / 6 a = 5 b = 20 n
(Jumlahnya sama dengan nol setiap kali batas bawahnya melebihi batas atas.)
Oleh karena itu kesempatan yang adalah melempar ketika salah kepala atau ekor pertama kali diamatin > 0 Sebuah b
Jelas ini harus sama dengan untuk atau . Karena itu kami dapat dengan mudah melaporkan seluruh distribusi: di sini adalah plot dari fungsi probabilitasnya antara dan seperti yang dihitung oleh rumus-rumus ini:0 n < min ( a , b ) n ≥ a + b f 0 a + b = 25 ,
Solusi sederhana ini menjadi lebih sederhana (dan hasil informasi tambahan tentang apakah lemparan diakhiri dengan kepala atau ekor) ketika kita mengenali pertanyaan dapat dibingkai sebagai acak berjalan di pesawat.Sebuah b ( x , y)
Mulai dari titik asal . Setiap kali koin muncul di kepala, gerakkan satu unit ke atas; jika tidak, gerakkan satu unit ke kanan. Hentikan pertama kali salah satu penghambat penyerap atau dipukul.( 0 , 0 ) y= a x = b
Geometri dari situasi ini ditunjukkan pada gambar kedua. Ini memplot poin yang dapat dicapai pada jalan ini, menunjukkan hambatan menyerap sebagai garis hitam. Titik terminal yang mungkin di sepanjang penghalang itu ditandai dengan titik hitam.
Jumlah kali setiap titik terminal dicapai dalam 1000 iterasi dari jalan ini digambarkan oleh warna dan ukuran dari titik-titik yang lebih besar. Jalan yang ditunjukkan dengan warna merah sesuai dengan urutan di mana satu ekor diamati, lalu satu kepala, lalu 10 ekor, satu kepala, satu ekor, dua kepala, empat ekor, dan satu kepala. Itu terdiri dari 21 kali lemparan koin.
Setiap jalur yang mencapai titik tertentu pada penghalang penyerap terdiri dari tail dan head dan karenanya memiliki peluang . Jelas, hasil terakhir di jalur apa pun yang berakhir pada adalah kepala. Oleh karena itu, jumlah jalur tersebut adalah jumlah jalur berbeda yang menghubungkan ke , di mana ada . Akibatnya peluang untuk mengakhiri di adalah( x , y) x y haly( 1 - hal)x ( x , a ) ( 0 , 0 ) ( x , a - 1 ) (x + a - 1a - 1) ( x , a )
Demikian pula peluang untuk mengakhiri di adalah( b , y)
Peluang untuk mengakhiri setelah langkah, dengan , oleh karena itu adalah jumlah dari dua ekspresi tersebut (salah satunya mungkin nol):n min ( a , b ) ≤ n < a + b - 1
Ini menghitung jumlah langkah langkah yang mencapai penghalang penyerap di bagian atas atau ke kanan, masing-masing, menimbang masing-masing dengan probabilitasnya.n
Lompatan mendadak dalam probabilitas pada pada gambar pertama sekarang dijelaskan:n = 20 untuk pertama kalinya (dibandingkan dengan nilai lebih kecil ), menjadi mungkin untuk mengakhiri lemparan pada penghalang sebelah kanan. Ini terjadi dalam sejumlah besar kasus, karena (sedikit) lebih mungkin bahwa penghalang yang tepat akan tercapai sebelum penghalang atas. (Kesempatan untuk mencapai penghalang yang tepat terlebih dahulu dapat ditemukan dengan menjumlahkan probabilitas yang terkait dengan lima poinnya, yaitu hampir .) Kita tahu bahwa mengakhiri perjalanan di penghalang yang tepat lebih mungkin karena rata-rata jalan akan naik dengan satu unit dari waktu tetapi akan pindah ke kanan satu unitn 63 % p = 1 / 6 1 - p = 5 / 6 waktu itu, untuk kemiringan rata-rata . Sebuah jalan dengan kemiringan itu mencapai daerah menyerap di lokasi : di penghalang kanan.1 / 6 : 5 / 6 = 1 / 5 ( 20 , 20 / 5 ) = ( 20 , 4 )
sumber
Setelah tidur di atasnya, saya pikir strateginya mungkin seperti ini:
Dari n = 1 hingga cukup besar,
jumlah dua probabilitas bersyarat, dan gandakan pelengkap dengan S (n-1), "survival" kumulatif melalui roll (n-1).
Ambil perbedaan berturut-turut S (n-1) -S (n) untuk memulihkan distribusi probabilitas.
Pengaturan ini adalah salah satu pemantauan keamanan komparatif produk kesehatan yang dipasarkan. Anda memiliki dua grup yang dibandingkan, mungkin dengan ukuran yang tidak sama, diikuti dari waktu ke waktu. Setiap kejadian buruk adalah percobaan binomial, karena kejadian tersebut dapat berasal dari obat A atau obat B.
sumber