Jika jumlah probabilitas kejadian sama dengan probabilitas penyatuan mereka, apakah itu menyiratkan bahwa kejadian tersebut terpisah?

Secara aksiomatis, probabilitas adalah fungsi yang memberikan bilangan real P ( A ) untuk setiap peristiwa A jika memenuhi tiga asumsi mendasar (asumsi Kolmogorov):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Pertanyaan saya adalah, pada asumsi terakhir, apakah yang terjadi dianggap sebaliknya? Jika saya menunjukkan bahwa probabilitas untuk sejumlah peristiwa dapat ditambahkan untuk mendapatkan kemungkinan penyatuan mereka, dapatkah saya langsung menggunakan aksioma ini untuk mengklaim bahwa peristiwa tersebut terpisah?

Tidak, tetapi Anda dapat menyimpulkan bahwa probabilitas setiap peristiwa yang dibagikan adalah nol.

Disjoint artinya untuk setiap i ≠ j . Anda tidak dapat menyimpulkan itu, tetapi Anda dapat menyimpulkan bahwa P ( A i ∩ A j ) = 0 untuk semua i ≠ j . Setiap elemen yang dibagikan harus memiliki probabilitas nol. Hal yang sama berlaku untuk semua persimpangan tingkat tinggi juga.$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Dengan kata lain, Anda dapat mengatakan, dengan probabilitas 1, bahwa tidak ada set yang dapat terjadi bersama. Saya telah melihat set yang disebut hampir terpisah atau hampir pasti terpisah tetapi terminologi seperti itu tidak standar saya pikir.

Misalnya, tidak terlalu mempertimbangkan distribusi seragam.

Misalkan dan A 2 = [ 0,5 , 1 ] ∪ ( Q ∩ [ $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$ dan A i = ∅ untuk i > 2 .$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

dan P ( A 2$P(A_1)=0.5$$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

$0$