Apa yang dimaksud dengan aljabar dihasilkan oleh variabel acak?

Seringkali, dalam studi statistik (mandiri) saya, saya telah bertemu dengan terminologi " aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak". Saya tidak mengerti definisi di Wikipedia , tetapi yang paling penting saya tidak mendapatkan intuisi di baliknya. Mengapa / kapan kita membutuhkan aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak? Apa artinya mereka Saya tahu yang berikut:$\sigma$$\sigma-$

• a aljabar pada suatu set adalah kumpulan subset kosong dari yang mengandung , ditutup di bawah komplemen dan di bawah gabungan yang dapat dihitung.$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• kami memperkenalkan -algebras untuk membangun ruang probabilitas pada ruang sampel tanpa batas. Secara khusus, jika adalah tak terhingga tak terhingga, kita tahu ada subset yang tidak terukur (set yang tidak dapat kita tentukan probabilitasnya). Dengan demikian, kita tidak bisa hanya menggunakan set daya sebagai set acara kami . Kita membutuhkan seperangkat yang lebih kecil, yang masih cukup besar sehingga kita dapat menentukan probabilitas peristiwa yang menarik, dan kita dapat berbicara tentang konvergensi urutan variabel acak.$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

Singkatnya, saya pikir saya memiliki pemahaman intuitif yang adil tentang aljabar. Saya ingin memiliki pemahaman yang sama untuk \ sigma- aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak: definisi, mengapa kita membutuhkannya, intuisi, contoh ...$\sigma-$$\sigma-$

Pertimbangkan variabel acak $X$ . Kita tahu bahwa $X$ tidak lain adalah fungsi yang dapat diukur dari $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ menjadi $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , di mana $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ adalah set Borel dari garis nyata. Dengan definisi terukur kita tahu bahwa kita memiliki

Tetapi dalam prakteknya preimage dari set Borel mungkin tidak semuanya $\mathcal{A}$ tetapi sebaliknya mereka mungkin merupakan subset yang lebih kasar darinya. Untuk melihat ini, mari kita definisikan

Menggunakan sifat-sifat preimage, tidak terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa $\mathcal{\Sigma}$ adalah aljabar-sigma. Ini juga segera mengikuti bahwa $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , maka $\mathcal{\Sigma}$ adalah aljabar-sub-sigma. Lebih lanjut, dengan definisi-definisi tersebut, mudah untuk melihat bahwa pemetaan $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ dapat diukur. $\mathcal{\Sigma}$ sebenarnya adalah sigma-aljabar terkecil yang menjadikan $X$ sebagai variabel acak karena semua sigma-aljabar lain dari jenis itu paling tidak akan menyertakan $\mathcal{\Sigma}$. Untuk alasan bahwa kita berhadapan dengan preimages dari variabel acak $X$ , kita sebut $\mathcal{\Sigma}$ sigma-aljabar disebabkan oleh variabel acak $X$ .

Ini adalah contoh ekstrem: pertimbangkan variabel acak konstan $X$ , yaitu $X(\omega) \equiv \alpha$ . Kemudian $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ sama dengan baik $\Omega$ atau $\varnothing$ tergantung pada apakah $\alpha \in B$ . The sigma-aljabar sehingga dihasilkan adalah sepele dan dengan demikian, sudah pasti termasuk dalam $\mathcal{A}$ .

Semoga ini membantu.