Konsistensi jelas merupakan penaksir properti yang alami dan penting, tetapi adakah situasi di mana mungkin lebih baik menggunakan penaksir yang tidak konsisten daripada yang konsisten?
Lebih khusus lagi, adakah contoh estimator yang tidak konsisten yang mengungguli estimator konsisten yang masuk akal untuk semua n terbatas (sehubungan dengan beberapa fungsi kerugian cocok)?
estimation
consistency
MånsT
sumber
sumber
Jawaban:
Jawaban ini menjelaskan masalah yang realistis di mana penduga konsisten alami didominasi (mengungguli semua nilai parameter yang mungkin untuk semua ukuran sampel) oleh penduga tidak konsisten. Dimotivasi oleh gagasan bahwa konsistensi paling cocok untuk kerugian kuadratik, jadi menggunakan kerugian yang sangat berbeda dari itu (seperti kerugian asimetris) harus membuat konsistensi hampir tidak berguna dalam mengevaluasi kinerja estimator.
Misalkan klien Anda ingin memperkirakan rata-rata variabel (diasumsikan memiliki distribusi simetris) dari sampel iid(x1,…,xn) , tetapi mereka menolak baik (a) meremehkannya atau (b) terlalu melebih-lebihkan saya t.
Untuk melihat bagaimana ini bisa berjalan, mari kita mengadopsi fungsi kerugian sederhana, memahami bahwa dalam praktiknya kerugian mungkin berbeda dari yang satu ini secara kuantitatif (tetapi tidak secara kualitatif). Pilih satuan pengukuran sehingga adalah estimasi berlebihan terbesar yang dapat ditoleransi dan atur kehilangan estimasi t ketika mean sebenarnya adalah μ untuk sama dengan 0 setiap kali μ ≤ t ≤ μ + 1 dan sama dengan 11 t μ 0 μ≤t≤μ+1 1 jika tidak.
Perhitungannya khususnya sederhana untuk keluarga distribusi normal dengan mean dan varians σ 2 > 0 , untuk kemudian sampel rata-rata ˉ x = 1μ σ2>0 memilikidistribusiNormal(μ,σ2/n). Sampel rata-rata adalah penaksir konsistenμ, seperti yang diketahui (dan jelas). MenulisΦuntuk CDF normal baku, hilangnya diharapkan dari mean sampel sama dengan1/2+Φ(-√x¯=1n∑ixi (μ,σ2/n) μ Φ :1/2berasal dari kesempatan 50% bahwa mean sampel akan meremehkan berarti benar danΦ(- √1/2+Φ(−n−−√/σ) 1/2 berasal dari kemungkinan melebih-lebihkan mean yang sebenarnya lebih dari1.Φ(−n−−√/σ) 1
Kehilangan yang diharapkan dari sama dengan area biru di bawah standar PDF normal ini. Area merah memberikan perkiraan kehilangan penduga alternatif, di bawah ini. Mereka berbeda dengan mengganti area biru pekat antara - √x¯ dan0oleh area merah solid yang lebih kecil antara √−n−−√/(2σ) 0 dan √n−−√/(2σ) . Perbedaan itu tumbuh denganmeningkatnyan.n−−√/σ n
sumber