Harapan "tak terduga"

8

Bisakah para ahli Monte Carlo kami menjelaskan ekspektasi "tak terduga" di akhir jawaban ini ?

Ringkasan ex post facto dari pertanyaan / jawaban lain: jika adalah variabel acak IID dan harapan ada, maka argumen simetri sederhana menunjukkan bahwa , tetapi percobaan Monte Carlo dengan tampaknya bertentangan dengan proposisi ini.X1,,XnE[Xi/X¯]E[Xi/X¯]=1XiN(0,1)

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203
Zen
sumber

Jawaban:

16

Penjelasan untuk evaluasi Monte Carlo tentang rasio mengambil nilai aneh adalah bahwa harapan itu tidak ada. Sebagai transformasi Cauchy dalam contoh Normal Anda . Memang, yang tidak terintegrasi pada karena setara dengan .E[X1/(X1+X2)]X1/X2

E[X1/(X1+X2)]=E[1/(1+X2/X1)]=+11+y1π(1+y2)dy
y=1(y+1)1

Perhatikan bahwa bukan merupakan varian Cauchy tetapi transformasi dari varian Cauchy oleh fungsi Alasannya adalah itu dan itu mana .X1/X¯

f: yn1+n1y
(X2++Xn)N(0,n1)
X1X¯=n1+(X2++Xn)/X1=n1+n1Z/X1
ZN(0,1)

Perhatikan bahwa, ketika bertumbuh hingga tak terbatas, menyatu dalam distribusi ke variabel acak yang sama dengan dengan probabilitas .nX1/X¯±1/2

Xi'an
sumber
2
Dalam contoh Gamma, rasio dibatasi oleh sehingga memiliki harapan yang terbatas. 1
Xi'an
4
OK, jadi argumen simetri bekerja, tetapi hanya jika harapan ada di tempat pertama ... Tentu saja ...
Zen
1
@ Xi'an: Anda benar tentang ini bukan Cauchy, dan jawaban Anda tepat. Saya akan menghapus jawaban saya, karena secara aktif menyesatkan.
Stephan Kolassa