Mengapa autocovariances dapat sepenuhnya mencirikan rangkaian waktu?

8

Saya membaca dalam Time Series John Cochrane untuk Ekonomi Makro dan Keuangan bahwa:

Autocovariance dapat sepenuhnya menandai rangkaian waktu [distribusi bersama].

Saya tidak sepenuhnya memahami hubungan antara kovarian dan distribusi bersama di sini. Bisakah seseorang tolong jelaskan itu?

time-series autocorrelation joint-distribution Babi terbang
sumber
4
Saya berani bertaruh dia menganggap prosesnya adalah Gaussian, kan?
whuber
@whuber, ya, dia menggunakan model ARMA untuk menggambarkan, dan menganggap istilah kesalahan selalu sebagai white noise.
Babi terbang
1
White noise dengan sendirinya tidak menjamin hasil yang Anda butuhkan; Anda membutuhkan white noise Gaussian .
Dilip Sarwate

Jawaban:

12

Proses Gaussian stasioner sepenuhnya ditandai oleh kombinasi fungsi mean, varians dan autokorelasi. Pernyataan yang Anda baca itu tidak benar. Anda memerlukan ketentuan tambahan berikut:

  1. Prosesnya diam
  2. prosesnya adalah Gaussian
  3. mean ditentukanμ

Kemudian seluruh proses stokastik benar-benar ditandai oleh fungsi autokovariannya (atau variansnya yang setara + fungsi autokorelasi).σ2

Ini hanya bergantung pada fakta bahwa setiap distribusi Gaussian multivariat secara unik ditentukan oleh vektor rata-rata dan fungsi kovariannya. Jadi mengingat semua kondisi yang saya nyatakan di atas distribusi gabungan dari setiap pengamatan dalam deret waktu memiliki distribusi normal multivariat dengan vektor rata-rata yang memiliki masing-masing komponen sama dengan (berdasarkan stasioner) masing-masing komponen memiliki varian (lagi oleh stasioneritas) dan komponen kovarians diberikan oleh kovariansi lag yang sesuai dalam fungsi autokovarians (sekali lagi stasioneritas masuk karena autokovarian hanya bergantung pada perbedaan waktu (atau lag) antara dua pengamatan yang kovariansnya diambil.kμσ2

Michael R. Chernick
sumber
(+1) Saya pikir ini dikatakan secara implisit dalam kondisi (1) tetapi Anda juga mengharuskan konstan, bukan? μ
Makro
@ Macro Ya stasioneritas, bahkan stasioneritas rasa lemah (kovarian) memerlukan rerata konstan dan ragam konstan.
Michael R. Chernick
@MichaelChernick, maka kita bisa mereproduksi distribusi bersama dari proses stokastik (atau mensimulasikan proses stokastik itu sendiri) dengan memiliki mean dan autocovariance?
Babi terbang
@Flyingpig Ya untuk setiap subset variabel selama itu adalah proses Gaussian stasioner. tidak harus berupa proses AR, MA atau ARMA. Itu hanya harus menjadi proses Gaussian stasioner. Seharusnya tidak menjadi kejutan. Ini adalah properti yang terkenal untuk distribusi normal multivariat.
Michael R. Chernick
@ Macro Saya kira kondisi konstan rata-rata adalah berlebihan dalam kondisi yang diperlukan yang saya berikan. Saya baru saja menyebutkannya karena untuk sepenuhnya mencirikan proses stokastik Anda perlu tahu apa nilai untuk mean dan varians, dan bukan hanya bahwa keduanya konstan.
Michael R. Chernick