Dapatkah standar deviasi skor mentah dilaporkan sebagai standar deviasi persentase?

Misalkan kita memiliki tes yang terdiri dari 30 pertanyaan, dan 10 orang mengikuti tes ini. Nilai tes rata-rata dari 10 orang ini adalah 17, dan standar deviasi dari semua skor dalam sampel adalah 4. Ketika melaporkan statistik deskriptif di sekolah, kami menggunakan skor mentah ini dan menulis ( M = 17, SD = 4); tetapi dalam beberapa kasus saya merasa bahwa melaporkan persentase akan lebih baik. Karena saya pikir kita memiliki pemahaman yang lebih intuitif tentang apa artinya skor 56,7 lebih dari 100 daripada skor 17 di atas 30 (mungkin karena kita terbiasa dengan sistem desimal).

Jadi, untuk contoh yang diberikan di atas, apakah mungkin untuk melaporkan mean dan standar deviasi sebagai ( M = 56,7%, SD = 13,3%)?

Apakah masuk akal untuk mengatakan bahwa skor ujian dalam sampel memiliki standar deviasi 13,3%?

Persentase ini adalah persamaan aritmatika dari skor mentah yang saya buat dan diberikan di atas, tetapi saya tidak yakin apakah itu praktik yang baik untuk langsung mengubahnya menjadi persentase seperti itu.

mean standard-deviation percentage Freya
sumber

AFAIK Anda dapat mengubah variabel kontinu ke skala lain dan menunjukkan distribusi pada skala tersebut selama Anda jelas bagaimana Anda sampai di sana. Namun dalam kasus Anda, Anda dapat bertanya-tanya apakah skor mentah yang diperoleh dari 30 pertanyaan menawarkan informasi yang cukup untuk berubah menjadi skala berkelanjutan mulai dari 0-100 (%) (karena data hanya mendukung peningkatan 3,33%).

IWS

Ya itu benar. Skor di atas 30 tidak informatif seperti skor yang dikonversi (lebih dari 100), karena peningkatan 100 lebih kecil (1) dan oleh karena itu tes lebih dari 100 poin akan lebih "sensitif" asalkan semua nilai adalah bilangan bulat. Namun, mengingat jawaban Anda, saya pikir itu tidak akan dianggap "malpraktek" dalam kasus saya untuk melaporkannya dengan cara ini. (Saya benar-benar menyiapkan tugas untuk sekolah, dan saya akan melaporkan rata-rata mentah & SD dalam teks, tetapi saya hanya percaya akan lebih masuk akal untuk menunjukkan skor ini sebagai persentase dalam tabel & grafik). Dari apa yang saya mengerti, ini bisa dilakukan.

Freya

Supaya lengkap: perlu diketahui bahwa beberapa transformasi mungkin benar-benar mengubah bentuk distribusi, jadi Anda tidak boleh hanya menerapkan transformasi yang ingin Anda terapkan pada data Anda secara langsung ke lokasi pengukuran dan menyebar. Alih-alih menerapkan transformasi pada data Anda dan kemudian menilai ukuran lokasi dan menyebar seolah-olah ini adalah data asli (yaitu mendefinisikan kembali mean dan sd dalam kasus Anda).

IWS

Secara teknis, sebagai ukuran jarak daripada lokasi, SD akan menjadi poin persentase (pp) daripada persen. Saya juga akan berhati-hati dalam menafsirkannya dalam konteks ini karena model kesalahan harus memperhitungkan bahwa skalanya diskrit seperti yang disebutkan @freya.

James

Jawaban:

Deviasi standar hanyalah properti statistik yang dapat Anda ukur untuk sekumpulan titik data. Deviasi standar tidak dengan sendirinya membuat asumsi bahwa data Anda terdistribusi normal atau telah / belum melewati transformasi apa pun, linier atau lainnya.

Oleh karena itu, sangat dapat diterima untuk menggunakan standar deviasi pada data apa pun, termasuk skor persentase.

Perhatikan bahwa, dalam kasus khusus Anda, transformasi yang Anda terapkan adalah transformasi linear, dari bentuk:

y = SEBUAH x + b

$y = Ax + b$

yaitu transformasi affine. Jadi Anda dapat menghitung standar deviasi pada data asli yang tidak diubah dan kemudian dikalikan dengan Auntuk mendapatkan standar deviasi setelah transformasi. Tampaknya tidak ada keuntungan khusus untuk melakukan ini daripada hanya menghitung standar deviasi pada data yang sudah diubah, tetapi mungkin meyakinkan.

Kita dapat melihat bahwa transformasi affine akan mengubah standar deviasi secara linear $A$ , sebagai berikut:

Mengingat kami memiliki data input $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$ , standar deviasi asli, $\sigma$ , akan diberikan oleh:

σ_{X}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} {(X_{saya} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j})}^{2}

$\sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2$

Mari kita terapkan transformasi $Y = AX + b$ . Lalu kita punya

σ_{Y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} {(SEBUAH X_{saya} + b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (SEBUAH X_{j} + b))}^{2}

$\sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} {(SEBUAH X_{saya} + b - n \frac{1}{n} b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (SEBUAH X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} {(SEBUAH X_{saya} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (SEBUAH X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= {SEBUAH}^{2} (\frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} {(X_{saya} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}))}^{2})

$= A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right)$

= {SEBUAH}^{2} σ_{X}^{2}

$= A^2 \sigma_X^2$

Karena itu

σ_{Y} = SEBUAH σ_{X} .

$\sigma_Y = A \sigma_X.$

Hugh Perkins
sumber

Ini sebenarnya sangat membantu dan menerangi. Terima kasih.

Freya