Korelasi signifikan pada masing-masing kelompok tetapi tidak signifikan atas semua?

Misalkan kita menguji korelasi Pearson antara variabel dan dalam kelompok dan . Apakah mungkin untuk korelasi menjadi signifikan di masing-masing dan , tetapi tidak signifikan ketika data dari kedua kelompok digabungkan? Dalam hal ini, bisakah Anda memberikan penjelasan untuk itu.$x$$y$$A$$B$$(x,y)$$A$$B$

Ya, itu mungkin dan itu bisa terjadi dengan berbagai cara. Salah satu contoh yang jelas adalah ketika keanggotaan A dan B dipilih dalam beberapa cara yang mencerminkan nilai-nilai x dan y. Contoh lain dimungkinkan, misalnya komentar @ Macro menyarankan kemungkinan alternatif.

Pertimbangkan contoh di bawah ini, yang ditulis dalam R. x dan y adalah variabel normal standar iid, tetapi jika saya mengalokasikannya ke grup berdasarkan nilai relatif dari x dan y saya mendapatkan siutation yang Anda sebutkan. Di dalam kelompok A dan kelompok B ada korelasi yang kuat secara statistik signifikan antara x dan y, tetapi jika Anda mengabaikan struktur pengelompokan tidak ada korelasi.

> library(ggplot2)
> x <- rnorm(1000)
> y <- rnorm(1000)
> Group <- ifelse(x>y, "A", "B")
> cor.test(x,y)

        Pearson's product-moment correlation

data:  x and y 
t = -0.9832, df = 998, p-value = 0.3257
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -0.09292  0.03094 
sample estimates:
     cor 
-0.03111 

> cor.test(x[Group=="A"], y[Group=="A"])

        Pearson's product-moment correlation

data:  x[Group == "A"] and y[Group == "A"] 
t = 11.93, df = 487, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 0.4040 0.5414 
sample estimates:
   cor 
0.4756 

> cor.test(x[Group=="B"], y[Group=="B"])

        Pearson's product-moment correlation

data:  x[Group == "B"] and y[Group == "B"] 
t = 9.974, df = 509, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 0.3292 0.4744 
sample estimates:
   cor 
0.4043 
> qplot(x,y, color=Group)

Satu kemungkinan adalah bahwa efeknya mungkin menuju ke arah yang berbeda di setiap kelompok dan dibatalkan ketika Anda menjumlahkannya . Ini juga terkait dengan bagaimana, ketika Anda meninggalkan istilah interaksi penting dalam model regresi, efek utama dapat menyesatkan.

$\rm A$$y_i$$x_i$

$$E(y_i|x_i, {\rm Group \ A}) = 1 + x_i$$

$\rm B$

$$E(y_i|x_i, {\rm Group \ B}) = 1 - x_i$$

$$P({\rm Group \ A}) = 1-P( {\rm Group \ B}) = p$$ $E(y_i|x_i)$

$$\begin{align*} E(y_i | x_i) = E( E(y_i|x_i,{\rm Group}) ) &= p(1+ x_i) + (1-p)(1-x_i) \\ &= p + px_i + 1 - x_i - p + px_i \\ &= 1 - x_i(2p-1) \end{align*}$$

$p = 1/2$$E(y_i | x_i) = 1$$x_i$$x_i$$y_i$

$p$

Catatan: Dengan kesalahan normal, signifikansi koefisien regresi linier setara dengan signifikansi korelasi Pearson, jadi contoh ini menyoroti satu penjelasan untuk apa yang Anda lihat.