Dapatkan distribusi gabungan dari distribusi marginal berpasangan

Asumsikan kita memiliki 3 variabel acak , dan kita tahu distribusi marginal berpasangan P ( X 1 , X 2 ) , P ( X 2 , X 3 ) , P ( X 3 , X 1 ) , tetapi kita tidak tahu apa-apa lagi (seperti kemerdekaan bersyarat). Bisakah kita mendapatkan distribusi bersama$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$ ?

Tidak.

Pertimbangkan distribusi trivariat dengan margin normal bivariat (standar, independen), tetapi dengan setengah oktan memiliki 0 probabilitas dan setengah memiliki probabilitas ganda. Secara khusus, pertimbangkan oktan ---, - ++, + - +, ++ - memiliki probabilitas ganda.

Kemudian margin bivariat tidak dapat dibedakan dari yang Anda dapatkan dengan tiga varian normal standar. Memang, ada tak terbatas distribusi trivariat yang akan menghasilkan margin bivariat yang sama

Seperti yang Dilip Sawarte tunjukkan dalam komentar, pada dasarnya dia telah membahas contoh yang sama dalam sebuah jawaban (tetapi membalikkan oktan yang digandakan dan di-nolkan), dan mendefinisikannya dengan cara yang lebih formal. Whuber menyebutkan contoh yang melibatkan varian Bernoulli yang (dalam kasus trivariate) terlihat seperti ini:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... di mana setiap margin bivariat akan berada

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

dan akan sama dengan kasus tiga varian independen (atau bahkan tiga dengan bentuk ketergantungan yang sebaliknya).

Sebuah contoh yang berkaitan erat saya awalnya mulai menulis tentang melibatkan seragam trivariat dengan "irisan" bergantian dalam pola kotak-kotak probabilitas yang lebih besar dan lebih rendah (generalisasi nol dan ganda biasa).

Jadi, Anda tidak dapat menghitung trivariat dari margin bivariat secara umum.