Properti zero-sum perbedaan antara data dan rata-rata

Saya baru dalam studi statistik dan di situs ini dan saya menemukan "properti zero-sum" dalam buku saya mengenai nilai rata-rata. Tampaknya lurus ke depan tetapi saya masih tidak bisa memahami gagasan itu. Satu-satunya informasi yang diberikannya dengan rumus adalah

jumlah selisih antara masing-masing nilai variabel , catat , dan nilai rata-rata , dicatat sebagai , sama dengan nol.$Y$$Y_i$$Y$$\bar Y$

Bisakah seseorang menjelaskan konsep dengan lebih baik?

Anda sudah mendapat jawaban yang lebih formal. Jawaban ini seharusnya memberi Anda "intuisi" di balik matematika.

Mean aritmatika sensitif terhadap data Anda (termasuk outlier) . Bayangkan sebuah tuas , seperti yang diilustrasikan di bawah ini. Data Anda adalah bola oranye yang terletak pada balok (bayangkan bahwa itu adalah sumbu x dari beberapa jenis plot dan data Anda adalah nilai yang tersebar di sekitarnya pada berbagai posisi). Agar batang berada dalam posisi horizontal, engsel harus diletakkan di tempat yang menyeimbangkan bola. Anda dapat mengingat dari fisika dasar (atau hanya pengalaman bermain dari masa kecil Anda), bahwa penempatan bola memainkan peran dalam seberapa besar mereka mempengaruhi tuas. Bola "terluar", bagaimana kita menyebutnya dalam statistik, memiliki pengaruh yang jauh lebih besar daripada bola yang berantakan di sekitar "tengah". Berarti adalah nilai yang menempatkan engsel di posisi yang tepat yang membuat tuas seimbang.

Jadi kita dapat mengatakan bahwa mean terletak di tengah, di antara nilai-nilai. Pusat didefinisikan dalam hal jarak (yaitu perbedaan) antara titik dan rata-rata. Karena berada di tengah, maka kita akan berharap bahwa jarak seimbang, yaitu mereka nol-keluar satu sama lain, sehingga jumlah jarak harus nol dan rata-rata memiliki properti ini (dan hanya rata-rata).

Periksa juga rata-rata Aritmatika terkait . Mengapa ini berhasil? utas di math.stackexchange.com.

biarkan menjadi nilai pengamatan dari variabel dan biarkan menunjukkan rata-rata aritmatika dari pengamatan. Properti zero-sum dapat ditulis secara matematis sebagai: Bukti: Dengan definisi kita memiliki dan karenanya: Interpretasi: Perhatikan bahwa$y_1,y_2, \dots, y_n$$n$$Y$$\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

$$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$$ $\overline{y}$$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$ $$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$$ $(y_i - \overline{y})$pada dasarnya adalah "jarak" antara pengamatan dan rata-rata aritmatika mana informasi apakah pengamatan lebih kecil atau lebih besar daripada rata-rata aritmatika masih dipertahankan melalui tanda ( tentu saja, jarak itu sendiri harus nonnegatif dan menjadi ).$y_i$$\overline{y}$$(y_i - \overline{y})$$|y_i-\overline{y}|$

Properti zero sum kemudian dapat diartikan, bahwa rata-rata aritmatika adalah angka sehingga nilai observasi yang lebih kecil dari dan nilai yang lebih besar dari tetap seimbang, yaitu jumlah mereka sampai nol. $\overline{y}$$Y$$\overline{y}$$Y$$\overline{y}$

Sebenarnya mudah untuk melihat dari bukti bahwa itu adalah satu-satunya nomor yang dimiliki oleh properti ini.

Anda jelas dapat menggunakan properti ini untuk memeriksa apakah perhitungan rata-rata sudah benar.

Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Ambil tiga angka: 1, 2 dan 3.

Nilai rata-rata adalah 2

Perbedaan antara nilai dan rata-rata adalah:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

Jumlah perbedaan ini adalah

-1 + 0 + 1 = 0

Properti zero-sum menyatakan bahwa tidak peduli apa nomor yang Anda mulai, hasil (jumlah perbedaan antara mereka dan rata-rata) akan menjadi 0

Berikut ini adalah bukti umum sederhana dan sederhana hasil$\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

Mari kita ambil urutan angka: kami mengakui bahwa rata-rata dari set angka ini dapat dilambangkan dengan, Kembali untuk LHS dari pernyataan asli kita dapat menuliskan ini secara lengkap sebagai berikut: Ini dapat disederhanakan menjadi 0 pada langkah-langkah berikut:

$$x_1,x_2,x_3,...,x_n$$ $$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ $\sum (x_i - \overline{x})$ $$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$$ $$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$$ $$\sum x_i-\sum x_i$$ $$=0$$