Jumlah variabel acak eksponensial mengikuti Gamma, dikacaukan oleh parameter

18

Saya telah belajar jumlah variabel acak eksponensial mengikuti distribusi Gamma.

Tetapi di mana-mana saya membaca parametrization berbeda. Misalnya, Wiki menggambarkan hubungan tersebut, tetapi jangan mengatakan apa arti parameter mereka sebenarnya? Bentuk, skala, nilai, 1 / tingkat?

Distribusi eksponensial: x ~ exp(λ)

f(x|λ)=λeλx
E[x]=1/λ
var(x)=1/λ2

Distribusi gamma: Γ(shape=α,scale=β) E[x]=αβvar[x]=αβ2

f(x|α,β)=1βα1Γ(α)xα1exβ
E[x]=αβ
var[x]=αβ2

Dalam pengaturan ini, apa yang ? Akan seperti apa parametrization yang benar? Bagaimana kalau memperpanjang ini ke chi-square?i=1nxi

edwin
sumber
7
Sebagai aturan praktis yang siap pakai, probabilis cenderung menggunakan untuk menunjukkan distribusi Gamma dengan rata-rata tΓ(t,λ) (yaitu,f(x)=λtλsedangkan ahli statistik cenderung menggunakanΓ(α,β)untuk menunjukkan variabel acak Gamma dengan rata-rataαβ, bukanα/βcara Anda memilikinya. Wikipediamenggambarkan kedua konvensi. f(x)=λΓ(t)(λx)t1exp(λx)1(0,)Γ(α,β)αβα/β
Dilip Sarwate
maaf kamu benar
edwin
1
Dua petunjuk: 1. ingat untuk memeriksa dengan konsistensi dimensi. (mis. apakah parameter memiliki dimensi , atau timbal baliknya ...?) 2. karena di sini parameter gamma adalah bilangan bulat, mungkin akan sedikit lebih mudah untuk menggunakan faktorial polos, dan distribusi Erlang (dari tentu saja, itu sama)x
leonbloy
@edwin Jadi harap edit pertanyaan Anda untuk mengoreksi ekspresi untuk mean dan varians.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate diedit!
edwin

Jawaban:

14

Jumlah variabel acak Gamma independen Γ ( t i , λ ) adalah variabel acak Gamma Γ ( i t i , λ ) . Tidak masalah apa arti parameter kedua (skala atau kebalikan skala) selama semua n variabel acak memiliki parameter kedua yang sama . Ide ini meluas mudah untuk χ 2 variabel acak yang merupakan kasus khusus dari variabel acak Gamma.nΓ(ti,λ)Γ(iti,λ)nχ2

Dilip Sarwate
sumber
Hal yang membingungkan saya adalah beberapa buku menulis di mana λ adalah tingkat, sementara yang lain berarti 1 / rate. Apakah ada notasi yang konsisten? Kecuali saya melihat pdf, saya tidak akan tahu apa artinya. exp(λ)λ
edwin
3
Jika Anda berpikir itu membingungkan, tunggu sampai Anda menemukan variabel acak normal. Ada setidaknya tiga interpretasi yang berbeda dari yang ahli statistik menggunakan. XN(μ,s)
Dilip Sarwate
lol, itu hanya menghancurkan jiwa-jiwa tak berdosa yang ingin mempelajari subjeknya. Saya pribadi berpikir itu hanya ditulis dengan buruk pada bagian penulis, pada saat yang sama, saya setuju bahwa saya perlu menyesuaikan kemampuan untuk menemukan hal-hal yang salah. Tapi tetap saja, tidak ketika saya mengambil langkah kecil.
edwin
Oh well, sebagai penulis Jawaban atas Pertanyaan lain, saya kecewa Anda berpikir bahwa Jawaban itu ditulis dengan buruk. Saran untuk memperbaikinya sangat disambut.
Dilip Sarwate
7
Saya tidak merujuk ke tautan Anda.
edwin
11

Jumlah dari distribusi eksponensial iid dengan skala θ (laju θ - 1 ) didistribusikan dengan gamma dengan bentuk n dan skala θ (laju θ - 1 ).nθθ1nθθ1

Neil G
sumber
1

distribusi gamma dibuat dari distribusi eksponensial yang merupakan distribusi eksponensial adalah dasar untuk distribusi gamma. maka jika kita memiliki n x iGamma ( n , λ ) , selama semua X i bersifat independen.f(x|λ)=λeλxnxiGamma(n,λ)Xi

f(x|α,β)=βαΓ(α)xα1exβ
hasanmisaii
sumber
Saya memformat bagian matematika dari jawaban Anda. Silakan periksa apakah ini yang ingin Anda ungkapkan.
Andy
5
Pernyataan Anda xiGamma(n,λ)xi