Mengapa jumlah autokorelasi sampel dari seri stasioner sama dengan -1/2?

8

Saya tidak dapat memahami kepala saya tentang properti seri stasioner ini dan fungsi autokorelasi. Saya harus membuktikannya

∑h=1n−1ρ^(h)=−12

Di mana dan adalah fungsi autokovarianρ^(h)=γ^(h)γ^(0)γ^(h)

γ^(h)=1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)

Semoga seseorang dapat membantu saya dengan bukti, atau setidaknya mengarahkan saya ke arah yang benar.

time-series autocorrelation stationarity Ernesto
sumber
5
Petunjuk: dengan mengurangi konstanta dari semua , yang tidak akan mengubah , Anda dapat mengasumsikan . Kuadratkan itu dan cari potongan yang cocok dengan dua jumlah Anda. Xtγ^(h)0=∑t=1nXt
whuber
Terima kasih balasannya. Saya mengerti bahwa mengurangkan konstanta tidak memengaruhi , tetapi saya tidak mengerti mengapa ini memungkinkan saya untuk menganggap bahwa jumlah seri sama dengan 0.γ^(h)
Ernesto
Kurangi persis konstanta yang membuat sama dengan 0. Sekarang disederhanakan (karena baru memiliki rata-rata 0) dan istilah-istilahnya jauh lebih mudah untuk dimainkan (tetapi tanpa kehilangan sifat umum). ∑Xtγ^Xt
Glen_b -Reinstate Monica
Tampaknya harus daripada1/(n−h)1/n
Alecos Papadopoulos
1
@AlecosPapadopoulos Saya percaya kedua versi adalah penduga yang valid dari fungsi autocovariance dengan sifat asimptotik yang sama tetapi saya membaca bahwa lebih disukai. (Alasannya adalah bahwa matriks adalah semi-pasti positif, saya bukan ahli matematika jadi saya tidak bisa menjelaskan alasan ini!)1/nγ^(i−j)
Ernesto

Jawaban:

4

Mari kita mulai dengan merepresentasikan jumlah menggunakan definisi fungsi autokorelasi:S

S=∑h=1n−1ρ^(h)=∑h=1n−1(1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)1n∑t=1n(Xt−X¯)2)

Penyebut tidak bergantung pada h jadi kita bisa menyederhanakan dan bergerak ke depan ∑ ke pembilang, yang memberi kita:

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)∑t=1n(Xt−X¯)2

Sekarang perhatikan penyebutnya. Bagaimana kami mewakili sehingga kami mendapatkan ekspresi yang mirip dengan pembilang? SetYt=Xt−X¯. Kemudian∑t=1nYt=0. Penyebutnya di sini adalah ∑t=1nYt2. Kami tahu itu∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h, yaitu mengurangi semua pasangan unik × 2. Karena ∑t=1nYt=0, karena itu ∑t=1nYt2=−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h.

Memasukkan kembali dalam bentuk X, penyebut menjadi −2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯). Kemudian,

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)−2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)=−12

Semoga ini membantu!

Dilly Minch
sumber
Terima kasih banyak, saya akan menerima jawaban ini sebentar lagi, saya hanya punya satu pertanyaan terakhir. Semuanya jelas bagi saya kecuali bagian ini:∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h. Saya tidak mengerti bagaimana kita bisa memasukkan penjumlahan ganda di sini, saya menganggap itu adalah properti atau identitas penjumlahan?
Ernesto
3
Untuk melihat ini, coba perluas (∑t=1nYt)2. Anda mendapatkan jumlahYt2, lalu istilah lainnya bertipe YsayaYj untuk saya≠j, masing-masing terjadi dua kali dalam ekspansi karena simetri. Sekarang, penjumlahan ganda datang dari penghitungan pasangan ini dengan cara berikut: UntukY1, kita menghitung Y2,Y3, dll. Untuk Y2, kita menghitung Y3,Y4 dll, sampai kita mencapai Yn−1 untuk pasangan terakhir Yn−1Yn.
Dilly Minch