Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki sampel dua variabel acak Bernoulli independen, dan .B e r ( θ 2 )
Bagaimana kami membuktikan bahwa ?
Asumsikan .
distributions
sampling
bernoulli-distribution
Seorang lelaki tua di laut.
sumber
sumber
Jawaban:
Letakkan , , , . Kami memiliki . Dalam hal fungsi karakteristik itu berarti Kami ingin membuktikan bahwa b=√a=θ1(1−θ1)√n1√ b=θ2(1−θ2)√n2√ B = ( ˉ X 2 - θ 2 ) / b A → d N ( 0 , 1 ) , B → d N ( 0 , 1 ) ϕ A ( t ) ≡ E e i t A → e - t 2 / 2A=(X¯1−θ1)/a B=(X¯2−θ2)/b A→dN(0,1), B→dN(0,1) D : = a
Karena dan bersifat independen, seperti yang kita inginkan.B ϕ D ( t ) = ϕ A ( aA B
Bukti ini tidak lengkap. Di sini kita perlu beberapa perkiraan untuk konvergensi fungsi karakteristik yang seragam. Namun dalam kasus yang dipertimbangkan kita dapat melakukan perhitungan eksplisit. Letakkan . sebagai . Jadi, untuk tetap , ϕ X 1 , 1 ( t )p=θ1, m=n1 t3m-3/2→0tφD(t)=(1-a2t2
Perhatikan bahwa perhitungan serupa dapat dilakukan untuk distribusi sewenang-wenang (tidak harus Bernoulli) dengan momen kedua terbatas, menggunakan perluasan fungsi karakteristik dalam hal dua momen pertama.
sumber
Membuktikan pernyataan Anda setara dengan membuktikan (Levy-Lindenberg) Central Limit Theorem yang menyatakan
Jika adalah urutan variabel acak iid dengan mean hingga dan varian terbatas lalu{Zi}ni=1 E(Zi)=μ V(Zi)=σ2
Di sini yang merupakan varian sampel.Z¯=∑iZi/n
Maka mudah untuk melihat itu jika kita menempatkan
dan
(Ada bagian terakhir, dan Anda harus sedikit menyesuaikan ini untuk kasus umum di mana tapi saya harus pergi sekarang, akan selesai besok atau Anda dapat mengedit pertanyaan dengan bagian terakhir sebagai latihan)n1≠n2
sumber