Harapan bersyarat dari derivasi RV terpotong, distribusi gumbel (perbedaan logistik)

Saya memiliki dua variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik, yaitu $\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta)$:

$$F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})),$$

$$f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)).$$

Saya mencoba menghitung dua jumlah:

1. $$\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right]$$
2. $$\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right]$$

Saya sampai pada titik di mana saya perlu melakukan integrasi pada sesuatu dari formulir: $e^{e^{x}}$, yang tampaknya tidak memiliki integral dalam bentuk tertutup. Adakah yang bisa membantu saya dengan ini? Mungkin saya telah melakukan sesuatu yang salah.

Saya merasa pasti ada solusi bentuk tertutup. (EDIT: Sekalipun itu bukan bentuk tertutup, tetapi akan ada perangkat lunak untuk dengan cepat mengevaluasi integral [seperti Ei (x)], itu akan baik-baik saja kurasa.)

---

EDIT:

Saya pikir dengan perubahan variabel, mari

$$y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta})$$ dan

$$\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1}$$

Ini memetakan ke $[0,\;\infty)$ dan $\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right]$ masing-masing.

$|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y}$. Kemudian di bawah perubahan variabel, saya telah direbus (1) ke ...

$$\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx$$

Mungkin ada kesalahan aljabar tapi saya masih belum bisa menyelesaikan integral ini ...

---

PERTANYAAN TERKAIT: Ekspektasi Maksimum dari Variabel Gumbel iid

Karena parameternya $(\mu,\beta)$ distribusi Gumbel adalah lokasi dan skala, masing-masing, masalahnya disederhanakan menjadi komputasi

$$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x}$$ dimana $f$ dan $F$ dikaitkan dengan $\mu=0$, $\beta=1$. Penyebut tersedia dalam bentuk tertutup $$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\exp[-x-c]\}\exp\{-x\}\exp\{-\exp[-x]\}\text{d}x\\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp\{-(1+a)e^{-x}\}\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*}$$ Pembilang melibatkan integral eksponensial sejak (menurut integrator WolframAlpha ) $$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp\{-(1+a)z\}\text{d}z\\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*}$$ Karenanya $$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c})$$ Hasil ini dapat dengan mudah diperiksa dengan simulasi, karena menghasilkan jumlah varian Gumberl untuk mengubah varian Uniform (0,1), $U$, sebagai $X=-\log\{-\log(U)\}$. Monte Carlo dan sarana teoretis setuju: