Asumsikan sebuah planet dengan tahun sangat panjang . Ada 1 juta orang asing di sebuah pesta di sebuah ruangan, dan tidak ada seorang pun yang berbagi ulang tahun. Apa yang bisa disimpulkan tentang ukuran ?N
(Pertanyaan yang lebih ringkas ini menggantikan yang diucapkan dengan buruk ini. )
probability
birthday-paradox
Paul Uszak
sumber
sumber
Jawaban:
Dengan asumsi semua ulang tahun sama-sama mungkin dan ulang tahun itu independen, kemungkinan alien tidak berbagi hari ulang tahun adalahk + 1
Logaritma dapat disimpulkan asimtotik asalkan jauh lebih kecil dari :Nk N
Untuk menjadi yakin bahwa adalah tidak kurang dari beberapa nilai , kita perlu lebih besar dari . Small memastikan jauh lebih besar dari , di mana kita dapat memperkirakan secara akurat sebagai . Ini menghasilkanN N ∗ ( 1 ) log ( 1 - α ) α N k ( 1 ) - k 2 / ( 2 N )100−100α% N N∗ (1) log(1−α) α N k (1) −k2/(2N)
menyiratkan
untuk kecil .α
Misalnya, dengan seperti dalam pertanyaan dan (nilai konvensional yang sesuai dengan kepercayaan), memberikan .k=106−1 α=0.05 95% (2) N>1013
Berikut adalah interpretasi yang lebih luas tentang hasil ini. Tanpa mendekati dalam rumus , kita memperoleh . Untuk ini kemungkinan tidak ada tabrakan dalam sejuta ulang tahun adalah (dihitung tanpa perkiraan), pada dasarnya sama dengan ambang batas kami . Jadi untuk setiap besar atau lebih besar ini atau lebih mungkin tidak akan ada tabrakan, yang konsisten dengan apa yang kita ketahui, tetapi untuk setiap lebih kecil kemungkinan tabrakan mencapai di atas , yang mulai membuat kita takut kita mungkin telah meremehkan .N = 9,74786 × 10 12 N p ( 10 6 - 1 , 9,74786 × 10 12 ) = 95,0000 ... % 95 % N 95 % N 100 - 95 = 5 % N(2) N=9.74786×1012 N p(106−1,9.74786×1012)=95.0000…% 95% N 95% N 100−95=5% N
Sebagai contoh lain, dalam masalah Ulang Tahun tradisional ada peluang dari tidak ada tabrakan di orang dan peluang dari tidak ada tabrakan di orang. Angka-angka ini menyarankan harus masing-masing melebihi dan , tepat di kisaran nilai yang benar . Ini menunjukkan seberapa akurat perkiraan ini, hasil asimptotik dapat bahkan untuk sangat kecil (asalkan kita tetap pada kecil ).k = 6 5,6 % k = 7 N 360 490 366 k α4% k=6 5.6% k=7 N 360 490 366 k α
sumber