Bagaimana saya bisa membuktikan bahwa fungsi distribusi kumulatif benar kontinu?

Saya telah belajar dalam kursus probabilitas saya bahwa fungsi distribusi kumulatif $F$ dari variabel acak $X$ benar kontinu. Apakah mungkin membuktikannya?

Untuk membuktikan kontinuitas yang tepat dari fungsi distribusi Anda harus menggunakan kontinuitas dari atas $P$ , yang mungkin Anda buktikan di salah satu program probabilitas Anda.

Kata pengantar singkat. Jika urutan peristiwa $\{A_n\}_{n\geq 1}$ menurun, dalam arti bahwa $A_n\supset A_{n+1}$ untuk setiap $n\geq 1$ , maka $P(A_n)\downarrow P(A)$ , di mana $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$ .

Mari kita gunakan Lemma. Fungsi distribusi $F$ adalah kontinu kanan pada beberapa titik $a$ jika dan hanya jika untuk setiap urutan penurunan bilangan real $\{x_n\}_{n\geq 1}$ sedemikian sehingga $x_n\downarrow a$ kita memiliki $F(x_n)\downarrow F(a)$ .

Tentukan peristiwa $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ , untuk $n\geq 1$ . Kami akan membuktikan bahwa

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

Dalam satu arah, jika $X(\omega)\leq x_n$ untuk setiap $n\geq 1$ , karena $x_n\downarrow a$ , kita memiliki $X(\omega)\leq a$ .

Di arah lain, jika $X(\omega)\leq a$ , karena $a\leq x_n$ untuk setiap $n\geq 1$ , kita memiliki $X(\omega)\leq x_n$ , untuk setiap $n\geq 1$ .

Menggunakan Lemma, hasilnya sebagai berikut:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$