Apa nama distribusi dengan kepadatan probabilitas seperti ?

8

Tolong maafkan ketidaktahuan saya, apa nama distribusi dengan kepadatan probabilitas seperti ini? atau lebih umum atau mana adalah konstanta normalisasi.

p (x) \propto \frac{1}{1 + e^{x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

hal (x) \propto \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

hal (x) = η \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions gwding
sumber

16

Ini identik dengan distribusi umum dalam fisika yang disebut distribusi Fermi-Dirac, yang menggambarkan situasi yang disebut statistik Fermi-Dirac . Dalam pengaturan tertentu dalam fisika, jumlah rata-rata partikel dengan energi adalah mana , , dan adalah parameter fisik yang mungkin tidak begitu penting bagi Anda (potensi kimia, konstanta Boltzmann, dan suhu). Sepele untuk menafsirkan ini sebagai fungsi kepadatan probabilitas untuk energi partikel. $\epsilon$

{\bar{n}}_{ϵ} = \frac{1}{e^{(ϵ - μ) / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$

μ

$\mu$

k

$k$

T

$T$

jwimberley
sumber

Terima kasih! karena saya juga memiliki parameter yang dapat saya sesuaikan, apakah Anda harus menyebutnya "distribusi FD yang diperluas / digeneralisasikan / dimodifikasi"? atau apakah Anda punya saran tentang jenis penamaan konvensi ini?

α

$\alpha$

gwding

2

@ gwding Parameter alfa Anda sesuai dengan parameter "potensi kimia" dalam distribusi FD: . Mungkin Anda mendapatkan lebih banyak wawasan tentang sifat distribusi dengan menggunakan sesuatu yang lebih dekat dengan bentuk fisika, dengan di penyebut. Secara kebetulan, sering dilambangkan dalam fisika, jadi konvensi penamaan Anda untuk parameter itu sama!

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$

1 / k T

$1/kT$

β

$\beta$

jwimberley

9

Konstanta normalisasi untuk yang pertama harus (bukan itu benar-benar penting untuk pertanyaan ini). $\frac{1}{\ln(2)}$

Saya tidak mengetahui apakah memiliki nama. Yang pertama (tanpa menormalkan konstanta) adalah fungsi survivor untuk distribusi logistik terpotong, tetapi saya belum melihatnya digunakan untuk fungsi kepadatan (meskipun saya berharap bahwa itu mungkin telah dinamai beberapa kali ... itulah yang sering terjadi dengan bentuk-bentuk fungsional sederhana yang tidak digunakan secara luas, di mana orang "menemukan kembali" hal-hal seperti itu tanpa menemui ide-ide sebelumnya, yang sering kali dalam bidang aplikasi yang berbeda *). $\log(2)$

Jika Anda mencoba untuk menamainya, maka karena bentuk fungsional tipe logistik Anda mungkin ingin memeras kata "logistik" di sana di suatu tempat, tetapi kesulitannya adalah dalam memilih nama yang akan membedakannya secara cukup dari kepadatan logistik.

* dan jawaban jwimberly menawarkan satu area aplikasi seperti itu. Nama " Distribusi Fermi-Dirac " tampaknya pilihan yang sangat masuk akal jika Anda tidak memiliki nama di area aplikasi tempat Anda bekerja.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber

1

Kepadatan yang terintegrasi dengan kesatuan $[0,\infty]$ akan menjadi

f_{X} (x) = \frac{θ}{dalam 2} \frac{1}{1 + e^{θ x}}, θ > 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Momen mentah diberikan oleh

E (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{dalam 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

dimana $\Gamma()$ adalah fungsi Gamma dan $\zeta()$ adalah fungsi Riemann zeta. Begitu

E (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot dalam 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

E (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 \cdot dalam 2} θ^{- 2} \approx 2.601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

mengarah ke

Var (X) \approx 1.193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Perhitungan numerik memverifikasi ini.

Alecos Papadopoulos
sumber

1

Bagaimana ini menjawab pertanyaan?

Jorge Leitao

@ JCLeitão Saya cenderung mengambil pandangan yang lebih luas tentang "apa pertanyaannya". Lihat posting ini, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , di mana saya mengajukan argumen saya dan juga menawarkan beberapa data cv untuk mendukungnya. Juga, menawarkan ekspresi momen untuk distribusi yang belum dipelajari, adalah kowledge yang berguna bagi siapa pun yang tertarik menggunakan distribusi.

Alecos Papadopoulos

Saya setuju dengan kesimpulan Anda dalam meta yang Anda sebutkan, "Momen-momen dalam PDF ini adalah X" bukanlah jawaban yang lebih luas untuk pertanyaan "Bagaimana nama PDF ini?". Distribusi juga telah dipelajari sebelumnya, seperti referensi jawaban lainnya.

Jorge Leitao

@ JCLeitão Seperti yang sudah saya tulis, perhatian dan kriteria utama saya adalah apakah informasi tersebut relevan dan berguna untuk ditampilkan di utas ini - dan memang demikian. Koneksi ke distribusi Fermi-Dirac telah dicatat dalam jawaban lain tetapi saya tidak melihat ekspresi eksplisit untuk momen mentah. Ini adalah fenomena biasa untuk jawaban dalam CV agar tidak kompetitif tetapi saling melengkapi, masing-masing memberikan sedikit informasi / pengetahuan yang berguna.

Alecos Papadopoulos

Apa nama distribusi dengan kepadatan probabilitas seperti ?

Jawaban: