Bisakah dua variabel acak memiliki distribusi yang sama, namun hampir pasti berbeda?

21

Mungkinkah dua variabel acak memiliki distribusi yang sama namun hampir pasti berbeda?

distributions probability HornetsFan
sumber

Jawaban:

38

Mari dan menentukan Y = - X . Sangat mudah untuk membuktikan bahwa Y ∼ N ( 0 , 1 ) .X∼N(0,1)Y=−XY∼N(0,1)

Tetapi

P{ω:X(ω)=Y(ω)}=P{ω:X(ω)=0,Y(ω)=0}≤P{ω:X(ω)=0}=0.

Karenanya, dan Y berbeda dengan probabilitas satu.XY

Zen
sumber
18
Trik yang sama ini bekerja jauh lebih umum dan bahkan dalam kasus-kasus yang mungkin "tampak" lebih mudah bagi seseorang yang pertama kali bertemu subjek. Sebagai contoh, perhatikan dan 1 - X di mana X adalah variabel acak Bernoulli dengan probabilitas keberhasilan menjadi 1 / 2 . X1−XX1/2
kardinal
24

Setiap pasangan variabel acak bebas dan Y yang memiliki distribusi kontinu yang sama memberikan contoh tandingan.XY

Faktanya, dua variabel acak yang memiliki distribusi yang sama bahkan tidak perlu didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama, oleh karena itu pertanyaannya tidak masuk akal secara umum.

Stéphane Laurent
sumber
3
(+1) Poin kedua Anda, khususnya, adalah yang penting dan, sekali mengerti, membantu menjelaskan perbedaan dalam dua konsep yang terlibat.
kardinal
-1

Pertimbangkan dan Y ( x ) = 1 - x dengan x ∈ [ 0 , 1 ] dengan ukuran Borel atau Lebesgue. Untuk kedua probabilitas terakumulasi adalah F ( x ) = x dan distribusi probabilitas adalah f ( x ) = 1 . Untuk jumlah X + Y distribusi adalah massa unit Dirac pada x = 1 .X(x)=xY(x)=1−xx∈[0,1]F(x)=xf(x)=1X+Yx=1

RRBaldino
sumber
Selamat datang di situs kami. Bisakah Anda mengklarifikasi arti di mana posting Anda menjawab pertanyaan di utas ini dan menunjukkan perbedaannya dari jawaban yang diberikan oleh Zen (dan komentar oleh @ Cardinal dengan jawaban itu )?
Whuber