Nilai yang diharapkan dari rasio variabel acak berkorelasi?

Untuk variabel acak independen dan , apakah ada bentuk ekspresi tertutup untuk$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

dalam hal nilai dan varian yang diharapkan dari dan ? Jika tidak, adakah batas bawah yang baik dari harapan itu?$\alpha$$\beta$

Pembaruan: Saya mungkin juga menyebutkan bahwa dan . Saya dapat mengontrol varians pada dan , dan saya memikirkan pengaturan di mana varian kedua dan relatif kecil dibandingkan dengan . Mungkin kedua standar deviasi mereka kurang dari 0,3.$\mathbb E[\alpha] = 1$$\mathbb E[\beta] = 0$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\mathbb E[\alpha]$

Saya memikirkan satu batas bawah, meskipun saya pikir itu tidak terlalu ketat. Saya hanya memilih nilai sewenang-wenang kurang dari rata-rata$\alpha$ dan nilai arbitrer lain di sekitar mean $\beta^2$. Karena harapan adalah variabel acak non-negatif, dan karena$\alpha$ dan $\beta$ independen,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$.

Dengan ketidaksetaraan Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Dengan ketidaksetaraan Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Karena itu,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Apakah cara yang lebih standar / sistematis untuk melakukan apa yang saya lakukan di sini, yang semakin terikat?