Apakah setiap seri non stasioner dapat dikonversi menjadi seri stasioner melalui differencing

Bisakah setiap deret waktu non stasioner dikonversi menjadi deret waktu stasioner dengan menerapkan differencing? Juga, bagaimana Anda memutuskan urutan perbedaan yang akan diterapkan?

Apakah Anda hanya berbeda dengan interval 1,2 ... n, dan melakukan tes root unit stasioner setiap kali untuk melihat apakah seri yang dihasilkan stasioner?

time-series stationarity Pemenang
sumber

Jawaban:

Tidak. Sebagai sampel tandingan, misalkan adalah variabel acak apa pun dan biarkan deret waktu memiliki nilai pada waktu . The perbedaan pada saat adalah kombinasi linear $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

$w_j$ $X$ $k^\text{th}$

whuber
sumber

Jadi diberi deret waktu (linier), bagaimana Anda tahu kalau bisa dibedakan dengan membentuk deret stasioner?

Victor

Tolong jelaskan apa yang Anda maksud dengan rangkaian waktu "linear". Secara umum, proses pemasangan sejumlah model AR untuk memperkirakan jumlah perbedaan yang diperlukan untuk membuat seri stasioner.

whuber

Terima kasih .. biarkan aku berpikir tentang itu. Saya tidak tahu seberapa banyak saya tidak tahu

Victor

Ini tampaknya merupakan konsekuensi dari fakta bahwa fungsi eksponensial adalah turunannya sendiri, dan yang segera menunjukkan kepada saya bahwa deret waktu dapat dibuat diam dengan perbedaan yang berulang jika dan hanya jika fungsi "benar" yang dimodelkan adalah polinomial ( atau, ekuivalen, ekspansi deret Taylor-nya terbatas).

zwol

@ zwol Itu wawasan yang bagus - dan itulah mengapa counterexample eksponensial adalah yang pertama muncul di benak saya - tetapi itu hanya sebagian dari cerita. Jika ekspektasi adalah fungsi polinomial waktu, maka perbedaan yang cukup akan membuat deret waktu urutan pertama stasioner : yaitu, momen pertama dari distribusi akan berubah-ubah seiring waktu. Namun, perbedaan tidak selalu membuat momen yang lebih tinggi atau momen multivariat menjadi diam.

whuber

Jawaban oleh whuber benar; ada banyak deret waktu yang tidak dapat dibuat diam dengan membedakan. Meskipun ini menjawab pertanyaan Anda dalam arti yang ketat, mungkin juga perlu dicatat bahwa dalam kelas luas model ARIMA dengan white noise, perbedaan dapat mengubahnya menjadi model ARMA, dan yang terakhir adalah (asimtotik) stasioner ketika akar yang tersisa dari polinomial karakteristik auto-regresif berada di dalam lingkaran unit. Jika Anda menentukan distribusi awal yang sesuai untuk seri yang dapat diamati yang sama dengan distribusi stasioner, Anda mendapatkan proses seri waktu yang stasioner .

Jadi sebagai aturan umum, tidak, tidak setiap deret waktu dapat dikonversi ke deret stasioner dengan membedakan. Namun, jika Anda membatasi ruang lingkup Anda ke kelas luas dari model deret waktu di kelas ARIMA dengan white noise dan distribusi awal yang ditentukan dengan tepat (dan akar AR lainnya di dalam lingkaran unit) maka ya, perbedaan dapat digunakan untuk mendapatkan stasioneritas.

Ben - Pasang kembali Monica
sumber

+1 Dapat diperdebatkan, untuk beberapa (banyak?) Aplikasi, ini adalah jawaban yang lebih berguna daripada yang murni teoretis yang saya tawarkan.

whuber

Ya - saya pikir kadang-kadang ini masalah "Inilah jawaban untuk pertanyaan Anda, dan sekarang inilah jawaban untuk pertanyaan lain yang seharusnya Anda juga tanyakan."

Ben - Reinstate Monica