Apa yang dimaksud dengan sampel variabel acak?

10

Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi yang dapat diukur dari satu aljabar dengan ukuran dasar ke aljabar lainnya .Xσ(Ω1,F1)Pσ(Ω2,F2)

Bagaimana kita berbicara tentang sampel dari variabel acak ini? Apakah kami memperlakukannya sebagai elemen dari ? Atau sebagai fungsi terukur yang sama dengan ?XnΩ2X

Di mana saya bisa membaca lebih lanjut tentang ini?

Contoh:

Dalam estimasi Monte Carlo, kami membuktikan ketidakberpihakan estimator dengan mempertimbangkan sampel sebagai fungsi. Jika harapan dari variabel acak didefinisikan sebagai(Xn)n=1NX

E[X]=Ω1X(ω1)dP(ω1)

dan dengan asumsi bahwa adalah fungsi dan , kita dapat melanjutkan sebagai berikut:XnXn=X

E[1Nn=1Nf(Xn)]=1Nn=1NE[f(Xn)]=1Nn=1NE[f(X)]=E[f(X)].

Jika hanya elemen dari , kami tidak dapat menulis set persamaan terakhir.XnΩ2

sk1ll3r
sumber
dalam contoh Anda, semua akan memiliki distribusi yang sama dengan yang Anda gambarkan, maka expecation mereka adalah sama dengan . XnXX
bdeonovic

Jawaban:

10

Sebuah sampel adalah fungsi terukur dari ke . Realisasi dari sampel ini adalah nilai yang diambil oleh fungsi di , .(X1,,XN)Ω1Ω2NωΩ1(x1,,xN)=(X1(ω),,XN(ω))

Saat menyatakan

dengan asumsi bahwa adalah fungsi danXnXn=X

Fungsi adalah semua fungsi yang berbeda, yang berarti bahwa gambar mungkin berbeda untuk diberikan . Ketika sampel iid (independen dan terdistribusi secara identik), fungsi berbeda dengan dua properti lebih lanjutXnX1(ω),,XN(ω)ωXn

  1. distribusi identik, artinya untuk semua set terukur dalam ;P(X1A)==P(XNA)AF2
  2. independensi, artinya untuk semua set yang dapat diukur diP(X1A1,,XNAN)=P(X1A1)P(XNAN)A1,,ANF2

Definisi Anda

E[X]=Ω1X(ω1)dω1

salah: seharusnya

E[X]=Ω1X(ω1)dP(ω1)
Xi'an
sumber
1

Sampel dapat diambil dari populasi , bukan dari variabel acak. "Sampel variabel acak" adalah cara sederhana untuk mengatakan bahwa kami memiliki sampel yang diambil dari populasi, yang kami asumsikan variabel acak yang terdistribusi secara identik. Jadi sampel tersebut berperilaku seperti variabel acak. Ini ambigu karena menggabungkan terminologi yang digunakan dalam probabilitas dan statistik. Sama dengan simulasi, di mana sampel diambil dari distribusi umum . Dalam kedua kasus, sampel adalah datan nnnnkamu punya. Sampel dianggap sebagai variabel acak karena proses acak mengarah pada menggambar mereka. Mereka didistribusikan secara identik karena mereka berasal dari distribusi umum. Untuk berurusan dengan sampel, kami memiliki statistik, sementara statistik menggunakan abstrak, deskripsi matematis dari masalah itu dalam hal teori probabilitas, sehingga terminologi dicampur. Variabel acak adalah fungsi yang menetapkan probabilitas untuk peristiwa yang dapat ditemui dalam sampel Anda.

Tim
sumber
Bagaimana dengan dalam konteks simulasi Monte Carlo. Di sana, sampel bukan dari suatu populasi. Mereka dari generator nomor acak.
sk1ll3r
@ sk1ll3r masih sampelnya, diambil dari distribusi umum.
Tim
Jadi, apakah saya akan memperlakukannya sebagai elemen dari atau fungsi dari hingga ? Ω 1 Ω 2Ω2Ω1Ω2
sk1ll3r
@ sk1ll3r seperti dikatakan bdeonovic, itu hanya variabel acak biasa, tidak lebih dari ini.
Tim