Bagaimana kita tahu bahwa kemungkinan rolling 1 dan 2 adalah 1/18?

Sejak kelas probabilitas pertama saya, saya bertanya-tanya tentang yang berikut ini.

Menghitung probabilitas biasanya diperkenalkan melalui rasio "peristiwa yang disukai" dengan total peristiwa yang mungkin terjadi. Dalam hal menggulirkan dua dadu 6 sisi, jumlah peristiwa yang mungkin adalah , seperti yang ditampilkan dalam tabel di bawah ini.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Jika karena itu kami tertarik untuk menghitung probabilitas acara A "menggulung dan ", kita akan melihat bahwa ada dua "peristiwa yang disukai" dan menghitung probabilitas acara tersebut sebagai \ frac {2} {36} = \ frac {1} {18} .2 $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Sekarang, yang selalu membuat saya bertanya-tanya adalah: Katakanlah tidak mungkin untuk membedakan antara dua dadu dan kami hanya akan mengamati mereka setelah mereka digulung, jadi misalnya kita akan mengamati "Seseorang memberi saya sebuah kotak. Saya membuka kotak itu. Ada $1$ dan $2$ ". Dalam skenario hipotetis ini kita tidak akan bisa membedakan antara dua dadu, jadi kita tidak akan tahu bahwa ada dua kemungkinan peristiwa yang mengarah pada pengamatan ini. Maka kemungkinan acara kami akan seperti itu:

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

dan kami akan menghitung probabilitas kejadian A sebagai $\frac{1}{21}$ .

Sekali lagi, saya sepenuhnya menyadari fakta bahwa pendekatan pertama akan membawa kita ke jawaban yang benar. Pertanyaan yang saya tanyakan pada diri saya adalah:

Bagaimana kita tahu bahwa $\frac{1}{18}$ benar?

Dua jawaban yang saya ajukan adalah:

• Kita bisa memeriksanya secara empiris. Seperti halnya saya tertarik pada ini, saya harus mengakui bahwa saya belum melakukan ini sendiri. Tapi saya percaya itu akan terjadi.
• Pada kenyataannya, kita dapat membedakan antara dadu, seperti yang satu berwarna hitam dan yang lainnya biru, atau melemparkan yang satu ke yang lain atau sekadar mengetahui tentang peristiwa yang mungkin dan kemudian semua teori standar berfungsi.$36$

Pertanyaan saya untuk Anda adalah:

• Apa alasan lain bagi kita untuk mengetahui bahwa benar? (Saya cukup yakin pasti ada beberapa alasan (setidaknya teknis) dan inilah mengapa saya memposting pertanyaan ini)$\frac{1}{18}$
• Adakah argumen dasar yang menentang anggapan bahwa kita sama sekali tidak dapat membedakan antara dadu?
• Jika kita berasumsi bahwa kita tidak dapat membedakan antara dadu dan tidak memiliki cara untuk memeriksa probabilitas secara empiris, apakah bahkan benar atau apakah saya mengabaikan sesuatu?$P(A) = \frac{1}{21}$

Terima kasih telah meluangkan waktu Anda untuk membaca pertanyaan saya dan saya harap itu cukup spesifik.

Bayangkan Anda melempar dadu enam sisi yang adil dan Anda mendapat ⚀. Hasilnya sangat menarik sehingga Anda menelepon teman Anda Dave dan memberi tahu dia tentang hal itu. Karena dia ingin tahu apa yang dia dapatkan ketika melempar dadu enam sisi yang adil, dia melemparkannya dan got.

Die standar memiliki enam sisi. Jika Anda tidak curang maka itu mendarat di setiap sisi dengan probabilitas yang sama, yaitu dalam 6 kali. Probabilitas yang Anda lemparkan ⚀, sama dengan sisi lainnya, adalah $1$$6$ . Kemungkinan Anda melempar ⚀,danteman Anda melempar ⚁, adalah$\tfrac{1}{6}$ karena kedua peristiwa ituindependendan kami melipatgandakan probabilitas independen. Mengatakannya secara berbeda, ada36pengaturan pasangan seperti itu yang dapat dengan mudah didaftar (seperti yang sudah Anda lakukan). Peluang kejadian sebaliknya (Anda melempar ⚁ dan teman Anda melempar ⚀) juga$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$ . Probabilitas yang Anda lemparkan ⚀,danteman Anda melempar ⚁,atauAnda melempar ⚁,danteman Anda melempar ⚀, bersifateksklusif, jadi kami menambahkannya$\tfrac{1}{36}$ . Di antara semua pengaturan yang mungkin, ada dua pertemuan kondisi ini.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Bagaimana kita mengetahui semua ini? Nah, dengan alasan probabilitas , kombinatorik dan logika, tetapi ketiganya membutuhkan pengetahuan faktual untuk diandalkan. Kita tahu berdasarkan pengalaman ribuan penjudi dan beberapa fisika, bahwa tidak ada alasan untuk percaya bahwa dadu bermata enam yang adil memiliki selain peluang mendarat yang setara di setiap sisi. Demikian pula, kami tidak memiliki alasan untuk mencurigai bahwa dua lemparan independen entah bagaimana terkait dan saling mempengaruhi.

Anda dapat membayangkan sebuah kotak dengan tiket berlabel menggunakan semua kombinasi (dengan pengulangan) angka dari 1 hingga 6 . Itu akan membatasi jumlah hasil yang mungkin menjadi 21 dan mengubah probabilitas. Namun jika Anda memikirkan definisi seperti itu dalam istilah dadu, maka Anda harus membayangkan dua dadu yang entah bagaimana direkatkan. Ini adalah sesuatu yang sangat berbeda dari dua dadu yang dapat berfungsi secara independen dan dapat dilempar sendirian di setiap sisi dengan probabilitas yang sama tanpa mempengaruhi satu sama lain.$2$$1$$6$$21$

Semua yang dikatakan, orang perlu berkomentar bahwa model seperti itu mungkin, tetapi tidak untuk hal-hal seperti dadu. Sebagai contoh, dalam fisika partikel berdasarkan pengamatan empiris tampak bahwa statistik Bose-Einstein tentang partikel yang tidak dapat dibedakan (lihat juga masalah bintang-dan-batang ) lebih cocok daripada model partikel yang dapat dibedakan. Anda dapat menemukan beberapa komentar tentang model-model dalam Probability atau Probability via Expectation oleh Peter Whittle, atau dalam volume salah satu Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya oleh William Feller.

Saya pikir Anda mengabaikan fakta bahwa tidak masalah apakah "kita" dapat membedakan dadu atau tidak, tetapi lebih penting bahwa dadu itu unik dan berbeda, dan bertindak atas kemauan mereka sendiri.

Jadi jika dalam skenario kotak tertutup, Anda membuka kotak dan melihat angka 1 dan angka 2, Anda tidak tahu apakah itu atau ( 2 , 1 ) , karena Anda tidak dapat membedakan dadu. Namun, keduanya ( 1 , 2 ) dan ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$ akan mengarah ke visual yang sama seperti yang Anda lihat, yaitu, 1 dan 2. Jadi ada dua hasil yang mendukung visual itu. Demikian pula untuk setiap pasangan yang tidak sama, ada dua hasil yang mendukung setiap visual, dan dengan demikian ada 36 hasil yang mungkin.

Secara matematis, rumus untuk probabilitas suatu peristiwa adalah

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Namun, formula ini hanya berlaku ketika setiap hasil sama-sama mungkin . Pada tabel pertama, masing-masing pasangan itu memiliki kemungkinan yang sama besar, jadi rumusnya berlaku. Di tabel kedua Anda, setiap hasil kemungkinannya tidak sama, sehingga rumusnya tidak berfungsi. Cara Anda menemukan jawaban menggunakan tabel Anda adalah

Probabilitas 1 dan 2 = Probabilitas + Probabilitas ( 2 , 1 ) = $(1,2)$$(2,1)$ .$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Cara lain untuk memikirkan hal ini adalah bahwa percobaan ini sama persis dengan menggulung setiap dadu secara terpisah, di mana Anda dapat menemukan Dadu 1 dan Dadu 2. Dengan demikian, hasil dan probabilitasnya akan cocok dengan eksperimen kotak tertutup.

Mari kita bayangkan bahwa skenario pertama melibatkan menggulung satu dadu merah dan satu dadu biru, sedangkan yang kedua melibatkan Anda menggulirkan sepasang dadu putih.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$ separuh dari hasil lainnya. Karena itu, Anda tidak bisa hanya menghitung probabilitas dengan menambahkan # hasil yang diinginkan dari jumlah total hasil. Sebagai gantinya, Anda perlu mempertimbangkan setiap hasil dengan probabilitas terjadinya. Jika Anda menjalankan matematika, Anda akan menemukan bahwa hasilnya sama - satu peristiwa ganda di pembilang dari 15 peristiwa ganda dan 6 peristiwa tunggal.

Pertanyaan selanjutnya adalah "bagaimana saya bisa tahu bahwa semua kejadian itu tidak sama kemungkinannya?" Salah satu cara untuk memikirkan ini adalah membayangkan apa yang akan terjadi jika Anda bisa membedakan dua dadu. Mungkin Anda memberi tanda kecil pada setiap dadu. Ini tidak dapat mengubah hasil, tetapi mengurangi masalah yang sebelumnya. Bergantian, misalkan Anda menulis bagan sehingga bukan Biru / Merah, itu bertuliskan Left Die / Right Die.

Sebagai latihan lebih lanjut, pikirkan perbedaan antara melihat hasil yang dipesan (merah = 1, biru = 2) vs yang tidak teratur (satu mati menunjukkan 1, satu mati menunjukkan 2).

Gagasan utamanya adalah jika Anda mendaftar 36 kemungkinan hasil dari dua dadu yang dapat dibedakan, Anda mencantumkan hasil yang mungkin sama . Ini tidak jelas, atau aksiomatik; itu benar hanya jika dadu Anda adil dan entah bagaimana tidak terhubung. Jika Anda mencantumkan hasil dari dadu yang tidak dapat dibedakan, kemungkinan dadu tidak sama, karena mengapa harus demikian, lebih daripada hasil "menangkan lotere" dan "jangan menangkan lotre" sama-sama memungkinkan.

Untuk sampai pada kesimpulan, Anda perlu:

• Kami bekerja dengan dadu yang adil, di mana keenam angka tersebut sama-sama memungkinkan.
• Dua dadu itu independen, sehingga kemungkinan dadu nomor dua mendapatkan nomor tertentu selalu terlepas dari jumlah yang diberikan dadu nomor satu. (Bayangkan, bukannya menggulung dadu yang sama dua kali pada permukaan yang lengket yang membuat gulungan kedua menjadi berbeda.)

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

Gagasan bahwa Anda bisa mendapatkan probabilitas hanya dengan menghitung kemungkinan bergantung pada asumsi probabilitas dan independensi yang sama. Asumsi ini jarang diverifikasi dalam kenyataan tetapi hampir selalu dalam masalah kelas.

Jika Anda menerjemahkannya ke dalam bentuk koin - katakanlah, membalik dua uang yang tidak dapat dibedakan - itu menjadi pertanyaan hanya dari tiga hasil: 2 kepala, 2 ekor, 1 masing-masing, dan masalahnya lebih mudah dikenali. Logika yang sama berlaku, dan kita melihat bahwa itu lebih mungkin untuk mendapatkan masing-masing 1 dari pada mendapatkan 2 kepala atau 2 ekor.

Itulah kelicinan tabel kedua Anda - itu mewakili semua hasil yang mungkin, meskipun mereka tidak semua probabilitas tertimbang sama , seperti pada tabel pertama. Ini akan menjadi tidak jelas untuk mencoba menguraikan apa arti setiap baris dan kolom dalam tabel kedua - mereka hanya bermakna dalam tabel gabungan di mana setiap hasil memiliki 1 kotak, terlepas dari kemungkinan, sedangkan tabel pertama menampilkan "semua kemungkinan hasil yang sama dari die 1, masing-masing memiliki barisnya sendiri, "dan juga untuk kolom dan die 2.

Mari kita mulai dengan menyatakan asumsi: dadu yang tidak dapat dibedakan hanya menggulung 21 hasil yang mungkin, sementara dadu yang dapat dibedakan 36 hasil yang mungkin.

Untuk menguji perbedaannya, dapatkan sepasang dadu putih yang identik. Lapisi satu dengan bahan penyerap UV seperti tabir surya, yang tidak terlihat oleh mata telanjang. Dadu masih tampak tidak bisa dibedakan sampai Anda melihatnya di bawah cahaya hitam, ketika dadu yang dilapisi tampak hitam sementara dadu bersih bersinar.

Menyembunyikan sepasang dadu dalam sebuah kotak dan mengocoknya. Berapa kemungkinan Anda akan mendapatkan angka 2 dan 1 ketika Anda membuka kotak itu? Secara intuitif Anda mungkin berpikir "menggulung 1 dan 2" hanyalah 1 dari 21 kemungkinan hasil karena Anda tidak dapat membedakan dadu. Tetapi jika Anda membuka kotak di bawah cahaya hitam, Anda dapat membedakannya. Saat Anda dapat membedakan dadu, "menggulung 1 dan 2" adalah 2 dari 36 kemungkinan kombinasi.

Apakah itu berarti lampu hitam memiliki kekuatan untuk mengubah probabilitas mendapatkan hasil tertentu, bahkan jika dadu hanya terkena cahaya dan diamati setelah digulung? Tentu saja tidak. Tidak ada yang mengubah dadu setelah Anda berhenti mengocok kotak. Probabilitas hasil yang diberikan tidak dapat berubah.

Karena asumsi asli tergantung pada perubahan yang tidak ada, masuk akal untuk menyimpulkan bahwa asumsi asli salah. Tetapi bagaimana dengan asumsi asli yang salah - bahwa dadu yang tidak dapat dibedakan hanya menghasilkan 21 hasil yang mungkin, atau dadu yang dapat dibedakan 36 hasil yang mungkin?

Jelas percobaan cahaya hitam menunjukkan bahwa pengamatan tidak berdampak pada probabilitas (setidaknya pada skala ini - probabilitas kuantum adalah masalah yang berbeda) atau perbedaan objek. Istilah "tidak dapat dibedakan" hanya menggambarkan sesuatu yang tidak dapat dibedakan oleh pengamatan dari sesuatu yang lain. Dengan kata lain, fakta bahwa dadu nampak sama dalam beberapa keadaan (yaitu bahwa dadu tidak berada di bawah cahaya hitam) dan tidak yang lain tidak tahan pada kenyataan bahwa mereka benar-benar dua objek yang berbeda. Ini akan berlaku bahkan jika keadaan di mana Anda dapat membedakannya tidak pernah ditemukan.

Singkatnya: kemampuan Anda untuk membedakan antara dadu yang digulung tidak relevan ketika menganalisis probabilitas hasil tertentu. Setiap mati secara inheren berbeda. Semua hasil didasarkan pada fakta ini, bukan pada sudut pandang pengamat.

Kami dapat menyimpulkan bahwa tabel kedua Anda tidak mewakili skenario secara akurat.

Anda telah menghilangkan semua sel di bawah dan kiri diagonal, atas dasar dugaan bahwa (1, 2) dan (2, 1) adalah kongruen dan karenanya hasil yang berlebihan.

Alih-alih, anggaplah Anda menggulung satu dadu dua kali berturut-turut. Apakah valid untuk menghitung 1-kemudian-2 sebagai hasil yang identik dengan 2-kemudian-1? Jelas tidak. Meskipun hasil roll kedua tidak tergantung pada yang pertama, mereka masih hasil yang berbeda. Anda tidak dapat menghilangkan pengaturan ulang sebagai duplikat. Sekarang, menggulung dua dadu sekaligus adalah sama untuk tujuan ini seperti menggulung satu dadu dua kali berturut-turut. Karena itu Anda tidak dapat menghilangkan pengaturan ulang.

(Masih tidak yakin? Berikut ini analoginya. Anda berjalan dari rumah Anda ke puncak gunung. Besok Anda berjalan kembali. Apakah ada titik waktu pada kedua hari ketika Anda berada di tempat yang sama? Mungkin? Sekarang bayangkan Anda berjalan dari rumah Anda ke puncak gunung, dan pada hari yang sama orang lain berjalan dari puncak gunung ke rumah Anda. Apakah ada waktu pada hari itu ketika Anda bertemu? Jelas ya. Mereka adalah pertanyaan yang sama. Transposisi pada saat kejadian yang tidak terurai tidak mengubah deduksi yang dapat dibuat dari kejadian tersebut.)

Jika kita hanya mengamati "Seseorang memberi saya sebuah kotak. Saya membuka kotak itu. Ada a $1$ dan a $2$", tanpa informasi lebih lanjut, kami tidak tahu apa-apa tentang probabilitas.

Jika kita tahu bahwa kedua dadu itu adil dan telah digulung, maka kemungkinannya adalah 1/18 seperti yang telah dijelaskan oleh semua jawaban lainnya. Fakta kita tidak tahu apakah die dengan 1 o die dengan 2 sudah digulirkan pertama kali tidak masalah, karena kita harus memperhitungkan kedua cara - dan oleh karena itu probabilitasnya adalah 1/18 bukannya 1/36.

Tetapi jika kita tidak tahu proses mana yang menyebabkan kombinasi 1-2, kita tidak bisa tahu apa-apa tentang probabilitas. Mungkin orang yang menyerahkan kotak itu dengan sengaja memilih kombinasi ini dan menempelkan dadu ke kotak (probabilitas = 1), atau mungkin dia membelikan kotak yang menggulirkan dadu (probabilitas = 1/18) atau dia mungkin memilih secara acak kombinasi dari 21 kombinasi dalam tabel yang Anda berikan pada pertanyaan, dan karena itu probabilitas = 1/21.

Singkatnya, kita tahu probabilitas karena kita tahu proses apa yang mengarah ke situasi akhir, dan kita bisa menghitung probabilitas untuk setiap tahap (probabilitas untuk setiap dadu). Prosesnya penting, bahkan jika kita belum melihatnya terjadi.

Untuk mengakhiri jawabannya, saya akan memberikan beberapa contoh di mana prosesnya sangat berarti:

• Kami membalik sepuluh koin. Berapa probabilitas menjadi kepala sepuluh kali? Anda dapat melihat bahwa probabilitas (1/1024) jauh lebih kecil daripada probabilitas mendapatkan 10 jika kita hanya memilih angka acak antara 0 dan 10 (1/11).
• Jika Anda menikmati masalah ini, Anda dapat mencoba dengan masalah Monty Hall . Ini adalah masalah yang serupa di mana prosesnya jauh lebih penting daripada yang diharapkan oleh intuisi kita.

Probabilitas peristiwa A dan B dihitung dengan mengalikan kedua probabilitas.

Probabilitas untuk menggulung 1 ketika ada enam opsi yang memungkinkan adalah 1/6. Probabilitas untuk menggulung 2 ketika ada enam opsi yang memungkinkan adalah 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

Namun, acara ini tidak bergantung pada waktu (dengan kata lain, tidak diperlukan bahwa kita menggulung 1 sebelum 2; hanya bahwa kita menggulung 1 dan 2 dalam dua gulungan).

Jadi, saya dapat menggulung 1 dan kemudian 2 dan memenuhi kondisi menggulung 1 dan 2, atau saya bisa menggulung 2 dan kemudian 1 dan memenuhi kondisi menggulung keduanya 1 dan 2.

Probabilitas rolling 2 dan 1 memiliki perhitungan yang sama:

1/6 * 1/6 = 1/36.

Probabilitas A atau B adalah jumlah dari probabilitas. Jadi misalkan acara A bergulir 1 lalu 2, dan acara B bergulir 2 lalu 1.

Probabilitas Kejadian A: 1/36 Probabilitas Kejadian B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 yang berkurang menjadi 1/18.