Ekspektasi fungsi variabel acak dari CDF

Apakah mungkin untuk menghitung ekspektasi fungsi dari variabel acak dengan hanya CDF rv? Katakanlah saya memiliki fungsi yang memiliki properti dan satu-satunya informasi yang saya miliki tentang variabel acak adalah CDF. $g(x)$ $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$

Sebagai contoh, saya memiliki skenario di mana ada tiga timer yang dapat dimodelkan sebagai variabel acak eksponensial dengan parameter laju masing-masing. Untuk setiap saat dalam waktu saya mendapatkan hadiah sesuai dengan beberapa fungsi hadiah . Artinya, hadiah saya untuk menunggu sampai waktu dapat ditulis sebagai . Namun, mengalami pengembalian menurun sehingga imbalan marjinal yang diterima dari menunggu satu detik pada lebih besar dari satu detik pada katakanlah . 'Game' ini berakhir ketika salah satu dari dua hal terjadi. Baik timer atau $X_1,X_2,X_3$ $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ $g(x)$ $t$ $\int_0^tg(x)dx$ $g(x)$ $t=0$ $t=27$ $X_1$ $X_2$ harus berdering atau timer atau harus berdering. Saya mencoba untuk menemukan hadiah yang diharapkan dari bermain game ini. $X_1$ $X_3$

Saat ini saya dapat menghitung CDF dari pemodelan variabel acak waktu sampai permainan berakhir, tetapi saya tidak tahu bagaimana menggunakan informasi ini ketika apa yang saya benar-benar butuhkan adalah hadiah yang terkait dengan waktu ini.

Sejauh ini saya memiliki variabel acak tambahan: Juga biarkan menunjukkan CDF dari CDF dari , dapat ditulis sebagai:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Saya tahu ketika variabel acak mengambil nilai-nilai non-negatif, Anda dapat menggunakan pintasan untuk menghitung ekspektasi menggunakan CDF. Yaitu, . Apakah ada sesuatu yang serupa yang dapat saya gunakan untuk fungsi variabel acak, atau apakah perlu untuk menghitung pdf dari terlebih dahulu untuk menghitung $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value CoconutBandit
sumber

Apa yang Anda maksud dengan informasi "hanya"? CDF memberi tahu Anda segalanya tentang RV yang mungkin terkait dengan harapan! Sepertinya masalah mendasar Anda mungkin terkait dengan bentuk komputasi di mana CDF diberikan kepada Anda. Tolong jelaskan keadaan Anda. BTW, dapat tidak ditentukan atau tidak terbatas bahkan ketika integral dariterbatas.

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

Whuber

Saya pikir Anda mencari integrasi oleh bagian en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

seanv507

Jawaban:

Ketika adalah CDF dari variabel acak dan adalah fungsi (terukur), harapan dapat ditemukan sebagai integral Riemann-Stieltjes $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Ini mengungkapkan Hukum Ahli Statistik Bawah Sadar.

Jika juga dapat dibedakan, tulis dan integrasikan dengan bagian - bagian yang akan diberikan $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

asalkan kedua addend bertemu Ini berarti beberapa hal, yang dapat dengan mudah dinyatakan dengan memecah integral pada beberapa nilai terbatas tertentu seperti : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ dan ada dan terbatas. Jika demikian, penambahan pertama adalah perbedaan keduanya. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ dan ada dan terbatas. Jika demikian, penambahan kedua adalah jumlah dari keduanya. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Tempat yang baik untuk memecahkan integral adalah pada nol , karena - asalkan akhirnya berkurang cukup cepat untuk besar--yaitu menyebabkan addend pertama menghilang, hanya menyisakan integral terhadap fungsi survival . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Contoh

Ekspektasi variabel tidak negatif diperoleh dengan menerapkan rumus tersebut ke fungsi identitas yang dan memanfaatkan fakta bahwa integrasi dapat dimulai dari nol: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E (X) = - x (1 - F (x)) |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

Asalkan (yaitu, fungsi survival tidak memiliki ekor yang terlalu berat), batas atas dari istilah pertama menghilang. Batas bawahnya jelas lenyap. Kita dibiarkan hanya dengan integral, memberikan ekspresi dalam pertanyaan. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

whuber
sumber

Terima kasih, ini persis seperti yang saya inginkan. Saya hanya perlu membaca tentang integrasi Riemann-Stieltjes saya sekarang.

CoconutBandit

Dalam aplikasi Anda, karena terus dapat dibedakan di mana-mana kecuali pada , Anda dapat memecah integral pada menjadi dua integral Riemann dan mengabaikan komplikasinya sama sekali.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

Whuber

Apa yang Anda maksud dengan 'komplikasi'? Juga, pada poin kedua Anda, harus menjadi ? Jika tidak, mengapa berubah menjadi ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

CoconutBandit

(1) Terima kasih, bilangan prima itu perlu ada di sana. (2) "Komplikasi" mengacu pada kebutuhan integral Riemann-Stieltjes alih-alih integral Riemann.

whuber

Ini menggunakan tiga aturan dasar diferensiasi: aturan penjumlahan, aturan produk, dan fakta bahwa konstanta memiliki turunan nol.

whuber