Menuliskan persamaan matematika untuk model efek campuran bertingkat

Pertanyaan CV

Saya mencoba memberikan (a) representasi matematis yang terperinci dan ringkas dari model efek campuran. Saya menggunakan lme4paket dalam R. Apa representasi matematika yang benar untuk model saya?

---

Data, Pertanyaan Sains, dan Kode R

Kumpulan data saya terdiri dari spesies di berbagai daerah. Saya sedang menguji apakah prevalensi suatu spesies berubah dalam waktu yang mengarah ke kepunahan (kepunahan tidak selalu permanen; ia dapat dikolonisasi ulang), atau mengikuti kolonisasi.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

• Prevalensi adalah proporsi strata yang ditempati oleh suatu spesies dalam suatu wilayah-tahun
• Waktu adalah variabel kontinu yang menunjukkan waktu untuk punah atau kolonisasi; selalu positif
• Tipe adalah variabel kategori dengan dua level. Dua level ini adalah "-" dan "+". Ketika tipe -, itu adalah kolonisasi (level default). Ketika tipe adalah +, itu punah.
• Reg adalah variabel kategori dengan sembilan level, yang menunjukkan wilayah
• Spp adalah variabel kategorikal; jumlah level bervariasi antar wilayah, dan bervariasi antara 48 level dan 144 level.

Dengan kata lain: variabel respons adalah prevalensi (proporsi strata yang ditempati). Efek tetap termasuk 1) dan mencegat, 2) waktu dari peristiwa, dan 3) interaksi antara waktu ke peristiwa dan jenis peristiwa (kolonisasi atau kepunahan). Masing-masing dari 3 efek tetap ini bervariasi secara acak antar wilayah. Dalam suatu wilayah, masing-masing efek bervariasi secara acak di antara spesies.

Saya mencoba mencari cara menulis persamaan matematika untuk model. Saya pikir saya mengerti apa yang terjadi dalam kode R (walaupun, saya yakin saya memiliki beberapa kesenjangan pengetahuan, dan mudah-mudahan menuliskan ekspresi matematika formal akan meningkatkan pemahaman saya).

Saya telah mencari melalui web dan melalui forum ini sedikit. Saya menemukan berton-ton informasi yang berguna, untuk memastikan (dan mungkin saya akan menautkan ke beberapa di antaranya di edit untuk pertanyaan ini). Namun, saya tidak dapat menemukan bahwa "Rosetta Stone" dari R-code diterjemahkan ke dalam matematika (saya lebih nyaman dengan kode) yang akan sangat membantu saya mengkonfirmasi bahwa saya sudah mendapatkan persamaan ini dengan benar. Sebenarnya, saya tahu ada beberapa celah, tetapi kita akan membahasnya.

---

Percobaan saya

Bentuk dasar model efek campuran, dalam notasi matriks adalah (menurut pemahaman saya):

$$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$$

$$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$$ Z= [ 1 I ( r 1 ) Δ t I ( r 1 ) Δ t + I ( r 1 ) … 1 I ( r 9 ) Δ t I ( r 9 ) Δ t + I ( r 9 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ $$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$$ $$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$$ $$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$$ $$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$$

• $X$$\Delta t$time$\Delta t_{+}$time:type
• $Z$
• $\beta$$\gamma$
• $\epsilon$$\Sigma$

Dengan asumsi hal-hal sejauh ini ~ benar, itu berarti saya bagus di level atas. Namun, menjelaskan variasi spesifik spesies pada parameter, yang bersarang di masing-masing wilayah, membuat saya semakin bingung.

Tapi saya mengambil sesuatu yang mungkin masuk akal ...

$\gamma$$\gamma$

• $\gamma_{p,r} = U_{p,r} b_{p,r} + \eta_{p,r}$
  • $U_{p,r}$$r$$p$$b_{p,r}$$S$$\eta_{p,r}$

Khususnya, untuk wilayah tertentu, masing - masing $\gamma_{p,r}$

$$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$$ $$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$$\epsilon$$\Sigma$$G$

---

Sunting: Tanya Jawab lain yang agak membantu

• Tanya Jawab ini bagus, tetapi tidak menuliskan semuanya dalam bentuk matriks penuh

Jika saya mengerti kodenya dengan benar, mengapa tidak sekadar menulis sesuatu seperti

$$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$$ with $$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$$ or, if the first equation is too long, something like $$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$$ and $$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$$ with the same covariance structure as above? It shows the nested structure of the data as well as which coefficients vary across which levels.