Bagaimana cara menilai apakah koin dilemparkan 900 kali dan muncul kepala 490 kali bias?

Sebuah koin dilemparkan 900 kali dan kepala muncul 490 kali. Apakah hasilnya mendukung hipotesis bahwa koin itu tidak bias?

Di sini hipotesis nol alami $H_0$ adalah bahwa koin itu tidak bias, yaitu probabilitas $p$ dari kepala sama dengan $1/2$. Hipotesis alternatif yang paling masuk akal$H_1$ Apakah itu $p\ne 1/2$, meskipun seseorang dapat membuat kasus untuk hipotesis alternatif satu sisi $p>1/2$.

Kita perlu memilih tingkat signifikansi tes. Terserah kamu. Dua angka tradisional adalah$5$% dan $1$%.

Misalkan hipotesis nol berlaku. Kemudian jumlah kepala memiliki * distribusi binomial dengan rata-rata$(900)(1/2)=450$, dan standar deviasi $\sqrt{(900)(1/2)(1/2)}=15$.

Probabilitas bahwa dalam melempar koin yang adil jumlah kepala berbeda dari $450$ oleh $40$atau lebih (dalam kedua arah) adalah, dengan simetri, Ini tidak praktis untuk dihitung dengan tangan, tetapi Wolfram Alpha memberikan jawaban sekitar .

Jadi, jika koin itu berisi, maka jumlah kepala yang berbeda dari dengan atau lebih akan sangat tidak mungkin. Kemungkinannya kurang dari %. jadi pada tingkat signifikansi %, kami menolak hipotesis nol.$450$$40$$1$$1$

Kita juga dapat menggunakan perkiraan normal ke binomial untuk memperkirakan probabilitas bahwa jumlah kepala adalah atau bawah hipotesis nol . Normal kami memiliki rata-rata dan varians adalah dengan probabilitas probabilitas bahwa standar normal adalah . Dari tabel untuk normal, ini adalah sekitar . Gandakan untuk memperhitungkan ekor kiri. Kami mendapatkan sekitar , cukup dekat dengan nilai yang diberikan oleh Wolfram Alpha, dan di bawah \%. Jadi jika kita menggunakan$\ge 490$$\le 410$$p=1/2$$450$$15$$\ge 490$$\ge 40/15$$0.0039$$0.0078$$1$$1$\% sebagai tingkat signifikansi kami, sekali lagi kami menolak hipotesis nol .$H_0$

Komentar: . Dalam perkiraan normal terhadap binomial, kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik terhadap probabilitas bahwa binomial adalah dengan menghitung probabilitas bahwa normalnya adalah . Jika Anda ingin mencarinya, ini adalah koreksi kontinuitas . Jika kami menggunakan perkiraan normal dengan koreksi kontinuitas, kami menemukan bahwa probabilitas atau lebih atau kepala lebih kecil adalah sekitar , cukup dekat dengan jawaban "tepat" yang diberikan oleh Wolfram Alpha. Dengan demikian kita dapat menemukan perkiraan yang sangat akurat dengan, seperti di masa lalu yang buruk, menggunakan tabel standar normal dan melakukan aritmatika "dengan tangan." $1$$\ge 490$$\ge 489.5$$490$$410$$0.008468$

$2$ . Misalkan kita menggunakan hipotesis alternatif yang agak kurang alami . Jika , probabilitas atau lebih adalah sekitar . Jadi sekali lagi pada tingkat signifikansi %, kita akan menolak hipotesis nol, memang kita akan menolaknya bahkan jika kita menggunakan tingkat signifikansi .$p>1/2$$p=1/2$$490$$0.00421$$1$$0.005$

Menetapkan tingkat signifikansi selalu diperlukan, karena dimungkinkan untuk koin yang adil menghasilkan kepala atau lebih dalam lemparan, sangat tidak mungkin. $550$$900$

Jika koin tidak bias maka probabilitas 'kepala' adalah . Oleh karena itu, jumlah kepala yang dilemparkan dalam 900 percobaan, , memiliki distribusi bawah hipotesis nol dari koin yang adil. Jadi, -value - probabilitas untuk melihat hasil yang ekstrem atau lebih ekstrem mengingat koin jauh, adalah$\frac{1}{2}$$X$${\rm Binomial}(900,\frac{1}{2})$$p$

Jika Anda mencari 2-sided -nilai, yang akan$p$

Saya akan menyerahkan kepada Anda untuk menjelaskan mengapa itu terjadi.

Kita tahu bahwa fungsi massa untuk , adalah $Y \sim {\rm Binomial}(n,p)$

Saya akan menyerahkan kepada Anda untuk menghitung -nilai yang Anda cari. $p$

Catatan: Ukuran sampel di sini cukup besar sehingga Anda bisa menggunakan perkiraan normal untuk distribusi binomial. Saya telah merinci di atas cara menghitung nilai tepat .$p$

The contoh dari halaman Wikipedia pada Bayes Faktor tampaknya cukup relevan dengan pertanyaan. Jika kita memiliki dua model, M1 di mana koin itu persis tidak bias (q = 0,5), dan M2 di mana kemungkinan kepala tidak diketahui, jadi kami menggunakan distribusi datar sebelumnya pada 1. Kami kemudian menghitung faktor bayes

$K = \frac{p(x=490|M_0)}{p(x=490|M_1)}$

dimana

$p(x=490|M1) = \mathrm{nchoosek}(900,490)\frac12^{900} = 7.5896\times10^{-4}$

dan

$p(x=490|M2) = \int_0^1 \mathrm{nchoosek}(900,490)q^{490}(1-q)^{410}dq = \frac{1}{901}$

Memberikan faktor Bayes $K \approx 1.4624$, yang menurut skala penafsiran biasa adalah "nyaris tidak layak disebut".

Namun perhatikan (i) faktor Bayes memiliki penalti bawaan yang mendukung model-model sederhana, dan M1 jauh lebih sederhana karena tidak memiliki parameter gangguan, seperti halnya M2; (ii) flat sebelum$q$secara fisik tidak masuk akal, dalam praktiknya koin bias akan mendekati adil kecuali koin itu jelas asimetris; (iii) ini hari yang panjang dan saya dapat dengan mudah membuat kesalahan di mana saja dalam analisis dari asumsi hingga perhitungan.

Perhatikan bahwa koin bias jika benda fisik karena asimetrinya berarti bahwa koin tersebut tidak akan persis sama seperti kepalanya.

Pertanyaan Anda dapat diatasi dengan beberapa cara berbeda.

Tes hipotesis tradisional dirancang untuk menyingkirkan kemungkinan, tidak harus membuktikannya. Dalam hal ini kita bisa menggunakan$H_0: p=0.5$sebagai hipotesis nol dan lihat apakah data (490 dari 900 kepala) dapat digunakan untuk menolak hipotesis nol ini dengan menghitung nilai-p. Jika p-value kurang dari$\alpha$ lalu kita tolak null, tapi nilai-p $>\alpha$ tidak berarti bahwa kita dapat mengatakan data mendukung nol, hanya saja konsisten dengan asumsi bahwa nol itu benar, tetapi sebenarnya nol bisa salah, hanya kebenaran adalah nilai dari $p$ sangat dekat dengan $0.5$.

Pendekatan "kesetaraan" akan mendefinisikan tidak bias sebagai $p=0.5$ melainkan memilih wilayah kecil sekitar 0,5 untuk dianggap tidak bias $0.5-\epsilon < p < 0.5+\epsilon$. Kemudian jika interval kepercayaan pada proporsi sebenarnya terletak sepenuhnya dalam interval ekivalen "tidak bias" maka data akan mendukung hipotesis "tidak memihak".

Pendekatan lain adalah dengan menggunakan pendekatan Bayesian di mana kita mulai dengan distribusi sebelumnya pada proporsi sebenarnya $p$termasuk titik massa di 0,5 dan sisa penyebaran probabilit melintasi nilai yang mungkin. Kemudian gabungkan itu dengan data untuk mendapatkan posterior. Jika kemungkinan posterioun$p=0.5$ cukup tinggi maka itu akan mendukung klaim tidak memihak.

Dan ilustrasi R:

Tidak peduli untuk mendekati normal, kita dapat melihat variabel acak yang didistribusikan binomial dengan n = 900 dan p = 0,5 di bawah hipotesis nol (yaitu jika koin tidak bias maka p = probabilitas kepala (atau ekor) = 0,5).

Jika kita ingin menguji alternatif bahwa Ha: p <> 0,5 pada alpha 0,05 kita dapat melihat ekor dari distribusi di bawah nol sebagai berikut dan melihat bahwa 490 berada di luar interval {421, 479} dan dengan demikian kita menolak Ho .

n<-900
p<-0.5
qbinom(c(0.025,0.975),size=n,prob=p)
# 421 479

Untuk memperjelas pendekatan Bayesian:

Anda mulai dengan tidak mengetahui apa pun, kecuali yang P(Heads)ada di [0,1]. Jadi mulailah dengan entropi maksimum sebelum -> uniform(0,1). Ini dapat direpresentasikan sebagai distribusi beta -> beta(1,1).

Setiap kali Anda melempar koin, lakukan pembaruan Bayesian dari koin P(Heads)dengan mengalikan setiap titik dalam distribusi dengan kemungkinannya (kalikan dengan xjika Anda memutar kepala, kalikan dengan (1-x)jika Anda mendapatkan ekor), dan normalkan kembali total probabilitas menjadi 1 Inilah yang dilakukan distribusi beta, jadi jika gulungan pertama adalah kepala, Anda akan memilikinya beta(2,1). Dalam kasus Anda, Anda punya beta(490,510).

Dari sana saya akan menghitung interval probabilitas 95%, dan jika 0,5 tidak dalam interval itu, saya akan mulai curiga.

Pertama kali saya menjalani latihan ini, saya benar-benar terkejut pada berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk berkumpul ... Saya mulai karena seseorang berkata "jika Anda melempar koin 100 kali, Anda tahu P(Heads)+/- 1%" ini ternyata adalah benar-benar salah, Anda membutuhkan lebih dari 100 flips.

Hipotesis nol, Ho: P = 0,5 (P = Q = 0,5)

H1: P> 0,5

di mana P adalah masalah kepala yang terjadi.

kita tahu z = (pP) / sqrt (PQ / N)

di mana p = 490/900 = 0,54

Sekarang z = (0,54-0,5) / sqrt ((0,5 * 0,5) / 900)

z = 2

maka pada 5% LOS (yaitu, 1,64 <2) Ho ditolak

karenanya koin bias ....