Distribusi mana yang merupakan transformasi Fourier mereka sendiri di samping distribusi normal dan distribusi arcsine umum ?
sumber
Distribusi mana yang merupakan transformasi Fourier mereka sendiri di samping distribusi normal dan distribusi arcsine umum ?
Misalkan transformasi Fourier dari adalah mana
Beberapa properti dari transformasi Fourier adalah sebagai berikut:
Transformasi Fourier dari adalah
Jika adalah fungsi genap bernilai nyata dari , maka adalah fungsi genap nilai riil dari .
Jadi, jika adalah fungsi genap bernilai nyata dari , maka transformasi Fourier dari fungsi genap nilai riil adalah
Sekarang anggaplah adalah fungsi densitas probabilitas genap (sehingga untuk semua ) dengan properti tambahan yang . Misalkan juga transformasi Fourier memiliki properti yang untuk semua . Kemudian, karena adalah fungsi bernilai riil bahkan non-negatif dari dengan area , yang adalah, juga merupakan fungsi kerapatan probabilitas dengan properti yang
Sekarang perhatikan bahwa adalah kepadatan campuran yang transformasi adalah yang merupakan densitas campuran yang sama.
Jadi, jika adalah fungsi kerapatan yang Fourier transform adalah fungsi kerapatan, maka fungsi kerapatan campuran adalah transformasi Fourier-nya sendiri.
Akhirnya, diberikan dua kepadatan yang transformasi Fourier mereka sendiri, misalnya dan , setiap kepadatan campuran mana adalah fungsi kerapatan yang merupakan transformasi Fourier-nya sendiri.