Transformasi distribusi Fourier

10

Distribusi mana yang merupakan transformasi Fourier mereka sendiri di samping distribusi normal dan distribusi arcsine umum ?

Neil G
sumber

Jawaban:

24

Misalkan transformasi Fourier dari x(t) adalah X(f) mana

X(f)=x(t)exp(i2πft)dt
mana i=1 . Transformasi terbalik adalah
x(t)=X(f)exp(i2πft)df

Beberapa properti dari transformasi Fourier adalah sebagai berikut:

  • Transformasi Fourier dari X(t) adalah x(f)

  • Jika x(t) adalah fungsi genap bernilai nyata dari t , maka X(f) adalah fungsi genap nilai riil dari f .

Jadi, jika adalah fungsi genap bernilai nyata dari , maka transformasi Fourier dari fungsi genap nilai riil adalahx(t)tX(t)x(f)

Sekarang anggaplah adalah fungsi densitas probabilitas genap (sehingga untuk semua ) dengan properti tambahan yang . Misalkan juga transformasi Fourier memiliki properti yang untuk semua . Kemudian, karena adalah fungsi bernilai riil bahkan non-negatif dari dengan area , yang adalah, juga merupakan fungsi kerapatan probabilitas dengan properti yangx(t)x(t)0tx(0)=1X(f)X(f)0f

x(0)=1=X(f)df
X(f)f1X(f)X(0)=1. Salah satu contoh dari sepasang fungsi tersebut adalah distribusi normal yang dikutip oleh OP Neil G dan contoh lain adalah
x1(t)=exp(πt2),  X1(f)=exp(πf2)
x2(t)=(1|t|)1[1,1],  X2(f)=sinc2(f)={(sin(πf)πf)2,f0,1,f=0.

Sekarang perhatikan bahwa adalah kepadatan campuran yang transformasi adalah yang merupakan densitas campuran yang sama.12x2(t)+12X2(t)12X2(f)+12x2(f)

Jadi, jika adalah fungsi kerapatan yang Fourier transform adalah fungsi kerapatan, maka fungsi kerapatan campuran adalah transformasi Fourier-nya sendiri.x(t)X(f)12x(t)+12X(t)

Akhirnya, diberikan dua kepadatan yang transformasi Fourier mereka sendiri, misalnya dan , setiap kepadatan campuran mana adalah fungsi kerapatan yang merupakan transformasi Fourier-nya sendiri.x1(t)12x2(t)+12X2(t)

αx1(t)+(1α)[12x2(t)+12X2(t)]
α[0,1]
Dilip Sarwate
sumber
7
(+1) Ini cukup pintar. Perlu dicatat bahwa untuk menjamin pasangan transformasi yang valid, kita memerlukan kondisi keterpaduan pada . Yaitu, akan menjamin bahwa inversi yang dinyatakan akan memulihkan kepadatan yang sesuai. Dalam arti tertentu Anda menggunakan kondisi seperti itu nanti. (Saya sudah mengasumsikan kendala nonnegativitas pada telah dikenakan, sehingga tidak perlu modulus.)X(f)X(f)df<X(f)
kardinal