Mengapa derajat kebebasan untuk pasangan yang cocok

9

Saya terbiasa mengetahui "derajat kebebasan" sebagai nr , di mana Anda memiliki model linier dengan , matriks desain dengan peringkat , , dengan , .

y=Xβ+ϵ
yRnXMn×p(R)rβRpϵRnϵN(0,σ2In)σ2>0

Dari apa yang saya ingat dari statistik dasar (yaitu, model pra-linier dengan aljabar linier), derajat kebebasan untuk pasangan yang cocok -tes adalah jumlah perbedaan minus . Jadi ini akan memerlukan memiliki peringkat 1, mungkin. Apakah ini benar? Jika tidak, mengapa derajat kebebasan untuk berpasangan-the -test?t1Xn1t

Untuk memahami konteksnya, anggaplah saya memiliki model efek-campuran mana , , dan . Tidak ada yang istimewa tentang selain itu efek tetap, dan . Saya berasumsi bahwa efek acak tidak relevan dengan masalah ini, karena kami hanya peduli dengan efek tetap dalam kasus ini.

yijk=μi+ some random effects+eijk
i=1,2j=1,,8k=1,2μieijkiidN(0,σe2)

Saya ingin memberikan interval kepercayaan untuk .μ1μ2

Saya telah menunjukkan bahwa adalah penaksir yang tidak bias dari , di mana , , dan didefinisikan dengan cara yang sama. Estimasi titik telah dihitung.μ1-μ2dj= ˉ y 1j- ˉ y 2j ˉ y 1j=1d¯=18djμ1μ2dj=y¯1jy¯2j ˉ y 21 ˉ dy¯1j=12ky1jky¯21d¯

Saya telah menunjukkan bahwa adalah penaksir yang tidak bias dari varian , dan dengan demikian, adalah kesalahan standar dari . Ini telah dihitung. dj

sd2=j(djd¯)281
dj ˉd
sd28
d¯

Sekarang bagian terakhir adalah mencari tahu derajat kebebasan. Untuk langkah ini, saya biasanya mencoba menemukan matriks desain - yang jelas memiliki peringkat 2 - tetapi saya punya solusi untuk masalah ini, dan dikatakan bahwa derajat kebebasannya .81

Dalam konteks menemukan peringkat matriks desain, mengapa derajat kebebasan ?81

Diedit untuk menambahkan: Mungkin bermanfaat dalam diskusi ini adalah bagaimana statistik pengujian didefinisikan. Misalkan saya memiliki vektor parameter . Dalam hal ini, (kecuali jika saya kehilangan sesuatu seluruhnya). Kami pada dasarnya melakukan tes hipotesis mana . Kemudian, statistik pengujian diberikan oleh yang akan diuji terhadap distribusi pusat denganβ = [ μ 1 μ 2 ] cβ

β=[μ1μ2]
c ' = [ 1 - 1 ] t= c ' β
cβ=0
c=[11]
t=cβ^σ^2c(XX)1c
n - r X σ 2 = y ' ( I - P X ) ytnrderajat kebebasan, di mana adalah matriks desain seperti di atas, dan mana .X
σ^2=y(IPX)ynr
PX=X(XX)1X
Klarinetis
sumber

Jawaban:

5

Berpasangan-yang -test dengan pasang sebenarnya hanya satu-sampel -test dengan sampel berukuran . Anda memiliki perbedaan , dan ini adalah iid dan didistribusikan secara normal. Kolom pertama setelah memilikitntnnd1,,dn

[d1dn]=[d¯d¯]+[d1d¯d1d¯]n d.f.1 d.f.(n1) d.f.
=''1tingkat kebebasan karena kendala linear yang mengatakan bahwa semua entri adalah sama; yang kedua memiliki derajat kebebasan karena batasan linear yang mengatakan jumlah entri adalah .n10
Michael Hardy
sumber
Jadi, dengan kata lain, alasan mengapa kita memiliki derajat kebebasan di sini tidak ada hubungannya dengan model linier ? n1y=Xβ+ϵ
Klarinetis
1
Memang ada hubungannya dengan model itu, di mana matriks adalah kolom s dan adalah matriks yang satu-satunya entri adalah perbedaan antara dua mean populasi. X1β1×1
Michael Hardy
2
Aha! Jadi vektor akan menjadi vektor , benar? Terima kasih banyak! Saya tidak percaya betapa sulitnya menemukan jawaban untuk ini! ydi
Klarinetis
Iya. Ini adalah vektor perbedaan yang diamati dalam pasangan cocok. n
Michael Hardy
2

Banyak, banyak terima kasih kepada Michael Hardy untuk menjawab pertanyaan saya.

Idenya adalah ini: mari dan . Kemudian model linier kami adalah mana adalah vektor semua yang ada, dan Jelas memiliki peringkat , jadi kita memiliki kebebasan derajat .

y=[d1dn]
β=[μ1μ2]
y=1n×1β+ϵ
1n×1n
ϵ=[ϵ1ϵn]N(0,σ2In).
X=1n×11n1

Bagaimana kita tahu bahwa mengatur sama dengan ? Ingat bahwa dan karena itu dapat dengan mudah dilihat, untuk semua . Dengan , sudah jelas apa yang seharusnya menjadi . Hal ini karena β[μ1μ2]

E[y]=Xβ
E[dj]=μ1μ2jXβ
E[y]=E[[d1dn]]=[E[d1]E[dn]]=[μ1μ2μ1μ2]=Xβ=1n×1β=[11]β
jadi harus berupa matriks dengan .β1×1β=[μ1μ2]

Set . Maka uji hipotesis kami adalah Statistik pengujian kami dengan demikian Kami punya Setelah beberapa pekerjaan, dapat ditunjukkan bahwa Juga dapat ditunjukkan bahwac=[1]

H0:cβ=0.
cβ^σ^2c(XX)1c.
σ^2=y(IPX)ynr(X).
PX=P1n×1=1n×1(1n)1.
IPXsimetris dan idempoten. Jadi, dan XX=1n × 1 1n×1=n1
σ^2=y(IPX)ynr(X)=y(IPX)(IPX)ynr(X)=(IPX)y2nr(X)=[I1n×1(1n)1]y2n1=[d1dn][d¯d¯]2n1=i=1n(did¯)2n1=sd2
XX=1n×11n×1=n
yang jelas memiliki invers , sehingga memberikan statistik uji yang akan diuji pada distribusi pusat dengan derajat kebebasan yang diinginkan.1/n tn-1
μ^1μ^2sd2/n
tn1
Klarinetis
sumber