Saya tahu bahwa bukti transformasi integral probabilitas telah diberikan beberapa kali di situs ini. Namun, bukti yang saya temukan menggunakan hipotesis bahwa CDF benar-benar meningkat (bersama-sama, tentu saja, dengan hipotesis bahwa adalah variabel acak kontinu). Saya tahu bahwa sebenarnya satu-satunya hipotesis yang diperlukan adalah bahwa adalah variabel acak kontinu, dan monotonisitas yang ketat tidak diperlukan. Bisakah Anda tunjukkan caranya?
Karena saya sudah di sini, saya juga mengambil kesempatan untuk meminta aplikasi sederhana dari probabilitas integral transformasi :) dapatkah Anda menunjukkan kepada saya bahwa, jika memiliki CDF dan adalah pemotongan dari ke , lalu didistribusikan sebagai mana ?
probability
cdf
DeltaIV
sumber
sumber
Jawaban:
Dalam tautan wikipedia yang disediakan oleh OP, probabilitas integral transformasi dalam kasus univariat diberikan sebagai berikut
Masalah dengan hal di atas adalah tidak jelas apa yang simbol . Jika itu mewakili inversi "biasa" (yang ada hanya untuk bijections), maka bukti di atas hanya akan berlaku untuk CDF yang terus menerus dan terus meningkat. Tetapi ini bukan masalahnya, karena untuk setiap CDF kami bekerja dengan fungsi kuantil (yang pada dasarnya adalah invers yang digeneralisasi),F−1X
Di bawah definisi ini, seri wikipedia tentang persamaan terus berlaku, untuk CDF berkelanjutan. Kesetaraan kritis adalah
yang berlaku karena kami sedang memeriksa CDF terus menerus. Dalam praktiknya ini berarti grafiknya kontinu (dan tanpa bagian vertikal, karena itu adalah fungsi dan bukan korespondensi). Pada gilirannya, ini menyiratkan bahwa infimum (nilai inf {...}), menyatakannya , akan selalu sedemikian rupa sehingga . Sisanya segera.x(y) FX(x(y))=y
Mengenai CDF dari distribusi diskrit (atau campuran), itu tidak (tidak dapat) benar bahwa mengikuti seragam , tetapi masih benar bahwa variabel acak memiliki fungsi distribusi (sehingga sampling transformasi terbalik masih dapat digunakan). Bukti dapat ditemukan di Shorack, GR (2000). Kemungkinan untuk ahli statistik . bab.7 .Y=FX(X) U(0,1) Z=F−1X(U) FX
sumber