Aritmatika untuk memperbarui kemungkinan menggunakan teorema Bayes

Ini mungkin pertanyaan mendasar yang mengapa saya belum dapat menemukannya di Stackexchange atau Mathoverflow namun saya mengalami masalah dengan aritmatika yang terlibat dalam memperbarui kemungkinan menggunakan teorema Bayes untuk masalah yang sedang saya kerjakan.

Latar Belakang:

Saya mencoba memberikan perkiraan kemungkinan kejadian di masa depan yang tidak memiliki atau sedikit preseden. Tidak seperti kebanyakan literatur dan teks di Bayes yang menggunakan distribusi yang diketahui sebelumnya untuk memberikan kemungkinan kejadian di masa depan dalam parameter yang sama - situasi saya didasarkan pada pendapat ahli hanya dengan sedikit atau tidak ada distribusi yang masuk akal untuk referensi.

Contoh:

GM mengumumkan mereka sedang mengembangkan mobil baru tetapi tidak mengatakan kapan itu akan dirilis. Manajer Produksi untuk KIA perlu tahu kapan mereka akan siap untuk merilisnya sehingga mereka dapat melepaskan mobil baru mereka pada waktu yang bersamaan.

KIA tahu bahwa mobil baru membutuhkan komponen berikut agar siap untuk rilis (1) mesin, (2) transmisi, (3) tubuh, (4) Roda dan Suspensi. Insinyur berpengalaman KIA menyatakan bahwa untuk proyek baru seperti ini mereka yakin 90% bahwa itu dapat diselesaikan dalam dua tahun. KIA juga menemukan bahwa GM melakukan tes dengan transmisi baru di SUV lain dan itu bekerja seperti yang dirancang dengan tingkat keberhasilan 95%. Insinyur yang sama menyatakan bahwa dengan diberikan tes transmisi ini, sebuah mobil dapat diselesaikan dalam jangka waktu 70% dari waktu tersebut.

Cara saya memilikinya, pada titik ini KIA dapat memulai perhitungan Bayesian dengan sampel awal seperti di bawah ini:

   A = GM will release the new car in two years
   B1 = GM will successfully test a new transmission
   P(A) = Prior Probability that GM will release the new car in two years
   P(B1) = Probability that GM will successfully test a new transmission
   P(B1|A) = Likelihood that given a successful transmission test, the car will be released within 2 years

Menetapkan nilai sebagai berikut

   P(A) = .9
   P(B1) = .95
   P(B1|A) = .7

P (A | B_{1}) = \frac{P (A) P (B_{1} | A)}{P (A) P (B_{1} | A) + P (\bar{A}) P (B_{1} | \bar{A})}

$P(A|B_1) = \frac {P(A)P(B_1|A)}{P(A)P(B_1|A)+P(\bar{A})P(B_1|\bar{A})}$

.9545 = \frac{.9 * .7}{(.9 * .7) + (.1 * .3)}

$.9545 = \frac {.9*.7}{(.9*.7)+(.1*.3)}$

Tak lama setelah departemen statistik KIA memberikan pembaruan ini, GM mengumumkan bahwa mereka telah menguji mesin baru mereka dan memiliki tingkat keberhasilan 98% atas semua pengujiannya. Para insinyur KIA mengatakan bahwa biasanya jika ada tes mesin yang berhasil bahwa ada kemungkinan 80% bahwa mobil akan selesai tepat waktu - tetapi mereka tidak tahu apa kemungkinan pada keseluruhan waktu penyelesaian diberikan baik mesin dan uji transmisi adalah.

Nilai sekarang untuk bukti kedua kami, yang harus dicatat adalah independen untuk kasus ini - tetapi tidak dalam semua kasus misalnya tubuh harus berjalan setelah penangguhan:

   P(B2) = .98
   P(B2|A) = .8

Jadi di sinilah saya mengalami masalah: secara aritmatika mengintegrasikan posterior P (A | B1) ke dalam perhitungan untuk P (A | B1, B2), mengingat bahwa prior harus tetap konstan. Seperti yang saya sebutkan, beberapa peristiwa dalam { } bersifat independen, yang lainnya bersifat kondisional. $B_1...B_n$

Saya telah melihat entri wikipedia yang menjelaskan tentang tiga acara bayes extention:

P (A | B_{1}, B_{2}) = \frac{P (B_{2} | A, B_{1}) P (B_{1} | A) P (A)}{P (B_{2} | B_{1}) P (B_{1})}

$P(A|B_1,B_2) = \frac {P(B_2|A,B_1)P(B_1|A)P(A)}{P(B_2|B_1)P(B_1)}$

Namun bagaimana dengan ekstensi keempat dan kelima?

Sebagian besar buku dan sumber daya online yang saya miliki tidak menunjukkan langkah-langkah untuk memperbarui prior dengan cara apa pun yang dapat saya lakukan diskriminasi. Bisa jadi saya terlalu jauh dari masa kalkulus sarjana saya untuk menafsirkannya, tetapi ketakutan saya adalah bahwa saya perlu memiliki pengalaman yang signifikan dalam teori himpunan dan matematika tingkat pascasarjana untuk melakukan apa yang tampaknya menjadi perhitungan sederhana. Pertukaran ini adalah yang paling dekat yang bisa saya temukan dan bahkan tidak melewatinya. Fakta bahwa saya belum setelah seminggu mencari menemukan tutorial dasar tentang mekanisme pembaruanTeorema Bayes (tidak masalah Anda tentang apa teorema Bayes dan bagaimana cara kerjanya - ada lebih dari itu) di luar implementasi pertama, membuat saya berpikir itu bukan perhitungan sepele. Apakah ada cara mudah untuk melakukan pembaruan ini tanpa matematika tingkat pascasarjana?

Catatan: Saya menyadari ironi terkait dengan kesulitan yang melekat pada "pembaruan masalah" WRT Bayes karena Yudkowski telah membahasnya selama beberapa waktu. Saya berasumsi, mungkin salah, bahwa orang-orang yang mengerjakannya merujuk pada iterasi yang jauh lebih kompleks, namun saya sadar bahwa itu bisa menjadi kasus saya mengalami masalah itu.

bayesian Andrew
sumber

Jawaban:

Saya akan mulai dengan menjawab pertanyaan Anda tentang memperbarui acara dengan "ekstensi keempat dan kelima." Seperti yang Anda duga, aritmatika memang cukup sederhana.

Pertama, ingat bagaimana teorema Bayes diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat: