Distribusi normal-seperti di atas area yang dibatasi

Apakah ada distribusi yang menyerupai distribusi gaussian (normal), tetapi sedemikian rupa sehingga kepadatan probabilitasnya bukan nol hanya di atas segmen yang ditentukan.

Pertanyaan itu muncul ketika saya mencoba memodelkan 'penyebaran peluru' dalam sebuah lingkaran. Distribusi Gaussian bekerja dengan baik, tetapi selalu ada peluang bahwa peluru akan mengenai luar lingkaran. Jadi saya ingin menemukan distribusi yang sangat mirip dengan Gaussian, tetapi dengan properti bahwa probabilitas di luar segmen yang ditentukan (atau lingkaran) adalah nol.

EDIT: Ya, sebenarnya yang saya maksud adalah disk, bukan lingkaran. EDIT: Dan ya, saya hanya perlu distribusi satu dimensi (sepanjang jari-jari disk) yang akan melingkar-simetris (tidak tergantung pada sudut).

Anda dapat menggunakan distribusi normal terpotong. Ini hanya distribusi normal yang Anda hanya mempertimbangkan interval. Anda perlu mengubah skala untuk memastikan bahwa pdf terintegrasi ke 1. Tapi ini terdengar bagi saya untuk menjadi apa yang Anda cari.

Distribusi VonMises mirip dengan normal, tetapi digunakan dengan data lingkaran dan didefinisikan hanya pada interval lingkaran (0-360 derajat, atau 0-2pi radian).

Distribusi Beta didefinisikan dari 0 hingga 1 (tetapi dapat diskalakan ke interval lain), dengan parameter yang sama itu simetris dan untuk banyak nilai berbentuk lonceng.

Ini adalah pertanyaan lama, tetapi masih relevan untuk pembaca baru. Saya terkejut bahwa tidak ada yang menyebutkan distribusi Raised Cosine .

Dengan mean dan sebarkan parameter ia dibatasi sempurna menjadi dan fungsi kerapatan probabilitasnya (PDF) memiliki kurva berbentuk lonceng juga.$\mu$$s$$[\mu - s, \mu + s]$

+1 untuk jawaban penolakan sampel.

Bisakah Anda juga mengambil sampel dari distribusi Beta di mana (alias ) adalah 1 dan (alias )? Ini didefinisikan pada [0,1], jadi kalikan dengan jari-jari cakram, dan Anda akan memiliki probabilitas nol untuk memilih titik pada jari-jari atau lebih besar.$\alpha$shape1$\beta \gt 1$shape2

Sisi baiknya meliputi: a) ada probabilitas nol untuk memilih jarak yang lebih besar dari atau sama dengan jari-jari, dan b) Anda dapat melakukan pengambilan sampel langsung daripada hal-hal seperti sampel penolakan.

Kelemahannya meliputi: a) itu hampir gelisah mendekati 0 dan b) distribusinya tidak "sangat mirip" dengan Gaussian. (Ini jauh lebih memuncak di dekat 0 - yaitu di tengah - daripada Gaussian, meskipun itu mungkin memang yang diinginkan OP.)

Tampaknya apa yang dicari adalah distribusi seragam pada disk, yang akan saya ambil (bagian dalam) lingkaran unit. Kita dapat menentukan parameter dengan sehingga kita memiliki dan . Kita dapat membiarkan memiliki distribusi seragam, tidak bergantung pada , dan harus menemukan distribusi yang memberikan distribusi seragam pada lingkaran. Karena probabilitas harus proporsional dengan area, kita memiliki yang dan mengambil , memberi$(r,\theta)$$0 \le r \le 1$$0 \le \theta \le 2\pi$$\theta$$R$$R$$0 \le a \le b \le 1$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$$ $a=0$$b=1$$F_R(r)= r^2$. Maka densitasnya adalah turunan . Densitas gabungan dan kemudian menjadi Ini mudah untuk disimulasikan dari, jumlah dua independen seragam memiliki distribusi segitiga (dan simetris), kadang-kadang digambarkan sebagai distribusi "tenda". Kami hanya ingin bagian kiri tenda, yang bisa kami dapatkan dengan mencerminkan distribusi dalam garis vertikal di bagian atas (mode) tenda. Mensimulasikan ini dalam R memberikan:$f_R(r)=2r$$R$$\theta$ $$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$$

Kode R untuk simulasi adalah:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari jawaban lama @Greg Snow, karena distribusi "tenda kiri" adalah distribusi beta dengan parameter . Tetapi kode di atas untuk mensimulasikannya mungkin lebih cepat daripada kode umum untuk mensimulasikan dari beta (atau akan jadi jika diprogram dalam C).$a=2, b=1$