Apakah distribusi ini memiliki nama?

23

Terpikir oleh saya hari ini bahwa distribusi dapat dilihat sebagai kompromi antara Gaussian dan Laplace distribusi, untuk danApakah distribusi semacam itu memiliki nama? Dan apakah ia memiliki ekspresi konstan yang normal? Kalkulus mengejutkan saya, karena saya tidak tahu bagaimana memulai memecahkan dalam integral

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{hal}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{hal}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

distributions normal-distribution terminology laplace-distribution distribution-identification Sycorax berkata Reinstate Monica
sumber

34

Jawaban singkat

Pdf yang Anda gambarkan paling tepat dikenal sebagai distribusi Subbotin ... lihat makalahnya pada tahun 1923 oleh Subbotin yang memiliki bentuk fungsional yang persis sama, dengan katakanlah . $Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), Tentang hukum frekuensi kesalahan, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

yang memasukkan pdf di persamaan 5, dari bentuk:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{hal}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

dengan konstanta integrasi: , sesuai derivasi Xian di mana $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Jawaban yang lebih panjang

Sayangnya, Wikipedia tidak selalu 'terkini', atau akurat, atau terkadang hanya 80 tahun ketinggalan zaman. Setelah Subbotin (1923), distribusi telah banyak digunakan dalam literatur, termasuk:

Diananda, PH (1949), Catatan tentang beberapa sifat estimasi kemungkinan maksimum, Prosiding Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Pada metode estimasi heuristik, Biometrik, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. dan Thompson, M. (1970), Regresi linear dengan istilah kesalahan tidak normal, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB dan Newey, WK (1988), estimasi adaptif sebagian dari model regresi melalui distribusi t umum, Teori Econometrik, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. dan Balakrishnan, N. (1995), Distribusi Univariat Berkelanjutan, volume 2, edisi 2, Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM dan Ruggieri, M. (2005), Alat perangkat lunak untuk distribusi Daya Eksponensial: paket normalp, Jurnal Perangkat Lunak Statistik, 12 (4), 1-21.

... semua sebelum makalah yang direferensikan pada Wiki. Selain 80 tahun kedaluwarsa, nama yang digunakan pada Wiki 'a Generalized Normal' juga tampaknya tidak tepat karena ada tak terhingga distribusi yang merupakan generalisasi dari Normal, dan dalam hal apa pun, namanya ambigu dengan literatur. Itu juga gagal untuk mengakui penulis asli.

serigala
sumber

17

Untuk alasan yang jelas, Anda dapat menghilangkan μ dan β sehingga yang tersisa hanyalah Karenanya

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{hal}} d x \overset{y = x^{hal}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / hal}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{hal} y^{\frac{1}{hal} - 1} d y = Γ (1 / hal) \frac{1}{hal}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{hal}} d x = \frac{2 Γ (1 / hal)}{hal} β^{1 / hal}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

Xi'an
sumber

2

Doh. Tentu saja. Dan kebetulan Anda tahu kalau itu punya nama?

Sycorax berkata Reinstate Monica

1

Ini agak terhubung dengan [distribusi Weibull dan Fréchet] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), namun mereka memiliki istilah kekuatan di depan eksponensial. Dengan demikian lebih merupakan distribusi Gaussian untuk metrik lain yang jarak kuadratnya.

Xi'an

1

+1 Tidak salah untuk menyebut ini distribusi "power Gamma".

whuber

13

$p\in [1,2]$

Referensi yang diberikan dalam Wikipedia adalah Saralees Nadarajah (2005) Distribusi normal yang digeneralisasi , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Artikel ini menyebutkan bahwa konstanta normalisasi ditemukan oleh 'integrasi sederhana' - Saya kira mengikuti jawaban Xi'an.

Juho Kokkala
sumber

Apakah distribusi ini memiliki nama?

Jawaban: