Haruskah fungsi delta Dirac dianggap sebagai subkelas dari distribusi Gaussian?

Dalam Wikidata adalah mungkin untuk menautkan distribusi probabilitas (seperti yang lainnya) dalam ontologi, misalnya, bahwa distribusi-t adalah subkelas dari distribusi-t noncentral, lihat, misalnya,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Ada berbagai kasus pembatas, misalnya, ketika derajat kebebasan dalam distribusi-t pergi hingga tak terbatas atau ketika varians mendekati nol untuk distribusi normal (distribusi Gaussian). Dalam kasus terakhir distribusi akan menuju fungsi delta Dirac.

Saya perhatikan bahwa di Wikipedia bahasa Inggris parameter varians saat ini dinyatakan lebih besar dari nol, jadi dengan interpretasi yang ketat orang tidak akan mengatakan bahwa fungsi delta Dirac adalah subkelas dari distribusi normal. Namun, bagi saya sepertinya cukup ok, karena saya akan mengatakan bahwa distribusi eksponensial adalah superclass dari fungsi delta Dirac.

Apakah ada masalah dengan menyatakan bahwa fungsi delta Dirac adalah subkelas dari distribusi Gaussian?

Delta Dirac dianggap sebagai distribusi Gaussian ketika nyaman untuk melakukannya, dan tidak begitu dianggap ketika sudut pandang ini mengharuskan kita untuk membuat pengecualian.

Misalnya, dikatakan menikmati distribusi Gaussian multivarian jika adalah variabel acak Gaussian untuk semua pilihan bilangan real . (Catatan: ini adalah definisi standar dalam statistik "lanjutan"). Karena satu pilihan adalah , definisi standar memperlakukan konstanta (variabel acak degenerasi) sebagai variabel acak Gaussian (dengan mean dan varian ). Di sisi lain, kita mengabaikan penghargaan kita terhadap delta Dirac sebagai distribusi Gaussian ketika kita mempertimbangkan sesuatu seperti∑ i a i X i a 1 , a 2 , … , a n a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 0 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"Fungsi distribusi probabilitas kumulatif (CDF) dari variabel acak Gaussian nol-rata dengan deviasi standar adalah mana adalah CDF dari variabel acak Gaussian standar. "F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$Φ(⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

Perhatikan bahwa pernyataan ini hampir benar tetapi tidak tepat jika kita menganggap delta Dirac sebagai kasus pembatas dari urutan variabel acak Gaussian rata-rata nol yang standar deviasinya mendekati (dan karenanya sebagai variabel acak Gaussian). CDF dari delta Dirac memiliki nilai untuk sedangkan$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Tetapi, banyak orang akan memberi tahu Anda bahwa mengenai dirac delta sebagai distribusi Gaussian adalah omong kosong belaka karena buku mereka mengatakan bahwa varians dari variabel acak Gaussian harus berupa angka positif (dan beberapa dari mereka akan memilih jawaban ini untuk menunjukkan ketidaksenangan mereka). Ada diskusi yang sangat kuat dan mencerahkan tentang hal ini beberapa tahun yang lalu di stats.SE tapi sayangnya itu hanya di komentar pada jawaban (oleh @Macro, saya percaya) dan bukan sebagai jawaban individu, dan saya tidak dapat menemukannya lagi .

Fungsi delta masuk ke dalam teori distribusi matematika (yang sangat berbeda dari teori distribusi probabilitas , terminologi di sini tidak bisa lebih membingungkan).

Pada dasarnya, distribusi adalah fungsi umum. Mereka tidak dapat dievaluasi seperti fungsi bisa, tetapi kemudian dapat diintegrasikan. Lebih tepatnya, distribusi didefinisikan sebagai berikut$D$

Biarkan menjadi kumpulan fungsi tes . Fungsi tes adalah fungsi true, honest to all, halus, dengan dukungan ringkas. Distribusi adalah pemetaan linearθ D : T → $T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Fungsi jujur menentukan distribusi oleh operator integrasi$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Ada distribusi yang tidak terkait dengan fungsi sebenarnya, operator dirac adalah salah satunya

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

Dalam hal ini, Anda dapat menganggap dirac sebagai kasus pembatas dari distribusi normal. Jika adalah keluarga pdf untuk distribusi normal dengan mean nol dan varian , maka untuk fungsi tes apa pun t $N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Ini mungkin lebih umum dinyatakan sebagai

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

yang mana seorang ahli matematika akan mempertimbangkan penyalahgunaan notasi, karena ungkapan sebenarnya tidak masuk akal. Tapi sekali lagi, siapa aku untuk mengkritik Dirac, siapa yang terbaik.$\delta(x)$

Tentu saja, apakah ini membuat dirac anggota keluarga dari distribusi normal adalah pertanyaan budaya. Di sini saya hanya memberikan alasan mengapa masuk akal untuk mempertimbangkannya.

Tidak. Itu bukan subkelas dari distribusi normal.

Saya pikir kebingungan berasal dari salah satu representasi dari fungsi Dirac. Ingat bahwa itu didefinisikan sebagai berikut:

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

Ini didefinisikan sebagai integral, yang hebat tetapi kadang-kadang Anda perlu mengoperasionalkannya dengan representasi fungsi daripada integral. Jadi, orang datang dengan semua jenis alternatif, salah satunya tampak seperti kepadatan Gaussian:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

Namun, ini bukan satu-satunya representasi , mis. Ada satu ini:

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Oleh karena itu, yang terbaik untuk memikirkan fungsi Dirac dalam hal definisi integralnya, dan mengambil representasi fungsi, seperti Gaussian, sebagai alat kenyamanan.

UPDATE Ke titik @ whuber, contoh yang lebih baik adalah representasi dari delta Dirac:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Apakah ini terlihat seperti distribusi Laplacian untuk Anda? Tidakkah seharusnya kita menganggap delta Dirac sebagai subclass dari distribusi Laplacian?