Selain dari keluarga eksponensial, di mana lagi konjugat dapat berasal dari?

Apakah semua prior konjugasi harus berasal dari keluarga eksponensial? Jika tidak, keluarga apa yang diketahui memiliki / menghasilkan prior konjugat?

Seperti dijelaskan misalnya dalam Bagian 3.3.3 buku "Pilihan Bayesian" oleh Christian Robert, memang ada hubungan yang sempit antara keluarga eksponensial dan prior konjugat, tetapi ada prior konjugat yang tersedia untuk keluarga non-eksponensial tertentu. Dia menyebut ini "semu-eksponensial", karena mereka adalah keluarga yang statistik memadai dari ukuran terbatas tidak meningkat dengan ukuran sampel memang ada.

Berikut adalah contoh untuk distribusi seragam, yang dukungannya tergantung pada parameter distribusi dan karenanya tidak dapat menjadi keluarga eksponensial (seperti yang diketahui):

Di sini, distribusi Pareto adalah konjugat sebelum untuk parameter dari distribusi seragam pada .$b$$[0,b]$

Kepadatan distribusi Pareto dengan parameter dan adalah untuk dan lainnya.$c>0$$% \alpha >0$

$$\begin{equation*} f(x)=\alpha c^{\alpha }x^{-\alpha -1} \end{equation*}$$ $x\geq c$$f(x)=0$

Sebelum parameter dari distribusi seragam pada adalah distribusi Pareto dengan dan , Kemungkinan untuk data , diberikan , adalah $b$$[0,b]$$c_{0}$$\alpha _{0}$

$$\begin{eqnarray*} \pi (b) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if } b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array} \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ $y_{1},\ldots ,y_{n}$$b$ $$\begin{equation*} f\left( y |b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{b }=b ^{-n} & \quad \text{if }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{equation*}$$ Produk dari kemungkinan dan prior adalah posterior yang tidak dinormalisasi $$\begin{eqnarray*} \pi \left( b |y\right) &\propto &\pi (b )f\left( y |b\right) \\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1}b ^{-n} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-n-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }% 0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{1}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{1} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ dengan $$\begin{eqnarray*} \alpha _{1} &=&\alpha _{0}+n \\ c_{1} &=&\max\bigl(\max_{i}y_{i},c_0\bigr). \end{eqnarray*}$$ Oleh karena itu, posterior didistribusikan Pareto.