Apakah ada statistik nyata di balik "teorema baseball Pythagoras"?

Saya membaca buku tentang sabermetrics, khususnya Mathletics oleh Wayne Winston, dan di bab pertama ia memperkenalkan kuantitas yang dapat digunakan untuk memprediksi tingkat kemenangan tim: dan ia sepertinya mengisyaratkan bahwa, di pertengahan musim, itu dapat digunakan untuk memprediksi tingkat kemenangan lebih baik daripada tingkat kemenangan pada paruh pertama musim. Ia menggeneralisasi rumus menjadi mana adalah rasio poin yang dicetak dengan poin terhadap poin. Dia kemudian menemukan eksponen yang paling cocok untuk memprediksi% pertandingan yang dimenangkan, untuk 3 olahraga, dan menemukan untuk

$$\frac{\text{Points Scored}^2 }{\text{Points Scored}^2 + \text{Points Against}^2} \approx \text{% Games Won},$$ $$\frac{R^{\text{exp}}}{R^{\text{exp}} + 1},$$ $R$ $$\text{Baseball: exp} \approx 2 ,$$ $$\text{Football: exp} \approx 2.7,$$ $$\text{Basketball: exp} \approx 14.$$ Tapi saya menyadari Anda dapat mengekspresikan% dari permainan yang dimenangkan dalam hal poin yang dicetak dan poin terhadap setiap game , khususnya% dari game yang dimenangkan adalah sebagian kecil dari game di mana poin yang dicetak , lebih besar daripada poin terhadap : di mana adalah fungsi indikator.$i$$PS_i$$PA_i$ $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i\right ),$$ $I$

Karena itu pertanyaan saya adalah:

$$\frac{ \left ( \sum_{i=1}^n PS_i \right )^x }{ \left ( \sum_{i=1}^nPS_i \right )^x + \left ( \sum_{i = 1}^n PA_i \right )^x } \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i \right )$$

Apakah ada cara analitis untuk menemukan MLE untuk ? Maafkan saya jika saya telah melakukan kesalahan naif, saya sebagian besar belajar sendiri statistik.$x$

Fondasi matematika / statistik untuk "aturan Pythagoras" diperiksa di Miller (2007). Makalah ini menunjukkan bahwa jika jumlah run yang dicetak oleh masing-masing tim dalam setiap game mengikuti distribusi Weibull dengan parameter bentuk umum tetapi parameter skala yang berbeda, maka bentuk umum dari aturan Pythagoras (dengan kekuatan umum ) muncul sesuai prediksi menang probabilitas.$\gamma$$\gamma$

Makalah itu juga sesuai dengan model Weibull yang diajukan untuk data bisbol dari 14 tim yang bermain di Liga Amerika 2004. Hasilnya menunjukkan kesesuaian model yang masuk akal, dengan menggunakan berbagai teknik estimasi. Ini menunjukkan bahwa aturan Pythagoras umum mungkin merupakan teknik prediksi yang masuk akal untuk prediksi untung-rugi, tetapi parameter daya harus sedikit kurang dari nilai kuadrat yang muncul dalam buku oleh Winston.$\hat{\gamma} \approx 1.74 \text{-} 1.82$

---

Miller, S. (2007) Derivasi formula menang-kalah Pythagoras dalam bisbol . Peluang 20 (1) , hlm. 40-48.