Apa distribusi rasio spasi dan sampel mean?

Misalkan menjadi sampel variabel acak eksponensial iid dengan mean , dan misalkan menjadi statistik pesanan dari sampel ini. Biarkan . $X_1,\dots,X_n$ $\beta$ $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$ $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

Tentukan jarakDapat ditunjukkan bahwa setiap juga eksponensial, dengan rata-rata .

W_{saya} = X_{(saya + 1)} - X_{(saya)} \forall 1 \leq saya \leq n - 1 .

$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$

W_{i}

$W_i$

β_{i} = \frac{β}{n - i}

$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$

Pertanyaan: Bagaimana cara saya mencari $\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$ , di mana $t$ diketahui dan tidak negatif?

Mencoba: Saya tahu ini sama dengan $1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$ . Jadi saya menggunakan hukum probabilitas total seperti:

P (W_{saya} > t \bar{X}) = 1 - F_{W_{saya}} (t \bar{X}) = 1 - \int_{0}^{\infty} F_{W_{saya}} (t s) f_{\bar{X}} (s) d s,

$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$

yang berubah menjadi berantakan tapi saya pikir trable integral.

Apakah saya di jalur yang benar di sini? Apakah ini penggunaan yang sah dari Hukum Probabilitas Total?

Pendekatan lain mungkin untuk melihat distribusi perbedaan:

P (W_{saya} - t \bar{X} > 0)

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$

Atau bahkan memecah jumlah:

P (W_{saya} - t \bar{X} > 0) = P ((X_{(saya + 1)} - X_{(saya)}) + \frac{t}{n} (X_{(1)} + \dots + X_{(n)}))

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$

Sebuah solusi untuk kasus eksponensial akan menjadi besar, tetapi lebih baik lagi akan menjadi semacam kendala umum pada distribusi. Atau paling tidak, momen-momennya, yang akan cukup untuk memberi saya ketidaksetaraan Chebyshev dan Markov.

Pembaruan: inilah bagian integral dari metode pertama:

\begin{aligned} 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{t s}{β_{saya}})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \\ 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{(n - saya) t s}{β})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \end{aligned}

$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$

Saya sudah bermain-main dengannya sebentar dan saya tidak yakin harus ke mana.

probability distributions exponential order-statistics shadowtalker
sumber

Integral yang Anda dapatkan terlihat relatif mudah setelah Anda mendistribusikan persyaratan tanda kurung. Setelah perubahan variabel, sepertinya Anda akan mendapatkan beberapa fungsi gamma.

Alex R.

@AlexR memang demikian, tetapi setelah melewati setengahnya saya mulai curiga bahwa itu tidak akan dibatasi antara 0 dan 1. Saya lebih mencari konfirmasi bahwa saya mengatur masalah dengan benar. Jika saya terjebak dengan integral itu sendiri saya akan bertanya pada Math.SE

shadowtalker

Jawaban:

Kesulitan yang Anda miliki di sini adalah bahwa Anda memiliki acara yang berkaitan dengan variabel acak yang tidak independen. Masalahnya dapat disederhanakan dan diselesaikan dengan memanipulasi acara sehingga membandingkan peningkatan independen. Untuk melakukan ini, kita catatan pertama bahwa untuk , masing-masing statistik pesanan dapat ditulis sebagai: $X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

X_{(k)} = β \sum_{saya = 1}^{k} \frac{Z_{saya}}{n - saya + 1},

$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$

di mana (lihat misalnya, Renyi 1953, David dan Nagaraja 2003). Hal ini memungkinkan kita untuk menulis dan kita dapat menulis rata-rata sampel sebagai: $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$ $W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

\begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{(k)} & = \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{saya = 1}^{k} \frac{Z_{saya}}{n - saya + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{saya = 1}^{n} \sum_{k = saya}^{n} \frac{Z_{saya}}{n - saya + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{saya = 1}^{n} Z_{saya} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$

Untuk memudahkan analisis kami, kami mendefinisikan kuantitas:

a \equiv \frac{t (n - k)}{n - t (n - k)} .

$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$

Untuk kita kemudian memiliki: $a > 0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = P (\frac{Z_{k + 1}}{n - k} ⩾ \frac{t}{n} \sum_{saya = 1}^{n} Z_{saya}) \\ = P (\frac{n}{n - k} \cdot Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{saya = 1}^{k} Z_{saya}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{saya \neq k} Z_{saya}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z ⩾ t G) = P (Z ⩾ Sebuah G), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$

$Z \sim \text{Exp} (1)$ $G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$ $t \geqslant n / (n-k)$ $\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$ $t < n / (n-k)$ $a>0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = \int_{0}^{\infty} Ga (g | n - 1, 1) \int_{Sebuah g}^{\infty} Exp (z | 1) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) \int_{Sebuah g}^{\infty} \exp (- z) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) (1 - \exp (Sebuah g)) d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) d g - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- (Sebuah + 1) g) d g \\ = 1 - (Sebuah + 1)^{- (n - 1)} \\ = 1 - {(1 - \frac{n - k}{n} \cdot t)}^{n - 1} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$

$t$ $t=0$ $t = \frac{n}{n-k}$

Ben - Pasang kembali Monica
sumber