Bagaimana fungsi Error dan fungsi distribusi Normal Normal terkait?

Jika Standar Normal PDF adalah

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

dan CDF adalah

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

bagaimana ini berubah menjadi fungsi kesalahan ?$z$

Karena ini sering muncul dalam beberapa sistem (misalnya, Mathematica bersikeras untuk mengekspresikan CDF Normal dalam hal ), ada baiknya untuk memiliki utas seperti ini yang mendokumentasikan hubungan tersebut.$\text{Erf}$

---

Menurut definisi, Fungsi Kesalahan adalah

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

Menulis menyiratkan t = z / $t^2 = z^2/2$ (karenattidak negatif), dari manadt=dz/$t = z / \sqrt{2}$$t$ . Titik akhirt=0dant=xmenjadiz=0danz=x$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$ . Untuk mengubah integral yang dihasilkan menjadi sesuatu yang tampak seperti fungsi distribusi kumulatif (CDF), itu harus dinyatakan dalam bentuk integral yang memiliki batas lebih rendah-∞, dengan demikian:$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

Integral tersebut pada ukuran kanan adalah nilai dari CDF dari distribusi Normal standar,

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

Secara khusus,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

Ini menunjukkan bagaimana mengekspresikan Fungsi Kesalahan dalam hal CDF Normal. Manipulasi aljabar yang dengan mudah memberikan CDF Normal dalam hal Fungsi Kesalahan:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

---

$\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

di mana notasi secara eksplisit menunjukkan tiga operasi penggandaan, penjumlahan, dan pembagian ini.