Distribusi perbedaan antara dua distribusi normal

Saya memiliki dua fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal:

$$f_1(x_1 \; | \; \mu_1, \sigma_1) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} }$$

dan

$$f_2(x_2 \; | \; \mu_2, \sigma_2) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} }$$

Saya mencari fungsi densitas probabilitas pemisahan antara dan x 2 . Saya pikir itu berarti saya sedang mencari fungsi kepadatan probabilitas | x 1 - x 2 | . Apakah itu benar? Bagaimana saya menemukan itu?$x_1$$x_2$$|x_1 - x_2|$

Pertanyaan ini dapat dijawab seperti yang dinyatakan hanya dengan mengasumsikan dua variabel acak dan X 2 diatur oleh distribusi ini adalah independen. $X_1$$X_2$ Ini membuat perbedaan mereka Normal dengan rata-rata μ = μ 2 - μ 1 dan varians σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 . (Solusi berikut ini dapat dengan mudah digeneralisasi untuk distribusi normal bivariat dari ( X 1 , X $X = X_2-X_1$$\mu = \mu_2-\mu_1$$\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ .) Jadi variabelnya$(X_1, X_2)$

$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{X_2 - X_1 - (\mu_2 - \mu_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$$

memiliki distribusi Normal standar (yaitu, dengan mean nol dan varians unit) dan

$$X = \sigma \left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right).$$

Ekspresi

$$|X_2 - X_1| = |X| = \sqrt{X^2} = \sigma\sqrt{\left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right)^2}$$

menunjukkan perbedaan absolut sebagai versi berskala dari akar kuadrat dari distribusi chi-squared Non-sentral dengan satu derajat kebebasan dan parameter noncentrality . Distribusi chi-squared non-sentral dengan parameter ini memiliki elemen probabilitas$\lambda=(\mu/\sigma)^2$

$$f(y)dy = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -y)} \cosh \left(\sqrt{\lambda y} \right) \frac{dy}{y},\ y \gt 0.$$

Menulis untuk x > 0 menetapkan korespondensi satu-ke-satu antara y dan akar kuadratnya, menghasilkan$y=x^2$$x \gt 0$$y$

$$f(y)dy = f(x^2) d(x^2) = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -x^2)} \cosh \left(\sqrt{\lambda x^2} \right) \frac{dx^2}{x^2}.$$

Menyederhanakan ini dan kemudian menskalakan dengan memberikan kepadatan yang diinginkan,$\sigma$

$$f_{|X|}(x) = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right).$$

---

This result is supported by simulations, such as this histogram of 100,000 independent draws of $|X|=|X_2-X_1|$ (called "x" in the code) with parameters $\mu_1=-1, \mu_2=5, \sigma_1=4, \sigma_2=1$. On it is plotted the graph of $f_{|X|}$, which neatly coincides with the histogram values.

The R code for this simulation follows.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

Saya memberikan jawaban yang komplementer untuk yang oleh @whuber dalam arti menjadi apa yang non-statistik (yaitu seseorang yang tidak tahu banyak tentang distribusi chi-square non-sentral dengan satu derajat kebebasan dll) mungkin menulis, dan bahwa orang baru bisa mengikuti dengan relatif mudah.

Meminjam asumsi independensi serta notasi dari jawaban whuber ,$Z = X_1-X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$ dimana $\mu = \mu_1-\mu_2$ dan $\sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2$. Jadi, untuk$x \geq 0$,

$$\begin{align} F_{|Z|}(x) &\triangleq P\{|Z| \leq x\}\\ &= P\{-x \leq Z \leq x\}\\ &= P\{-x < Z \leq x\} &\scriptstyle{\text{since}~Z~\text{is a continuous random variable}}\\ &= F_Z(x) - F_Z(-x), \end{align}$$ dan tentu saja, $F_{|Z|}(x) = 0$ untuk $x < 0$. Ini mengikuti setelah membedakan sehubungan dengan$x$ bahwa $$\begin{align}f_{|Z|}(x) &\triangleq \frac{\partial}{\partial x} F_{|Z|}(x)\\ &= [f_Z(x) + f_Z(-x)]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}} + \frac{\exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \frac{\displaystyle\exp\left(-\frac{x^2+\mu^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) + \exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right)\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ & = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$$ yang merupakan hasil yang sama persis dengan jawaban whuber, tetapi sampai pada lebih transparan.

Distribusi perbedaan dua varian terdistribusi normal X dan Y juga merupakan distribusi normal, dengan asumsi X dan Y independen (terima kasih Mark atas komentarnya). Berikut adalah turunannya: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

Di sini Anda menanyakan perbedaan absolut, berdasarkan jawaban whuber dan jika kami menganggap perbedaan rata-rata X dan Y adalah nol, itu hanya setengah distribusi normal dengan kepadatan dua kali lipat (terima kasih Dilip atas komentarnya).