Jika dan , apakah ?

Ini bukan pekerjaan rumah.

Biarkan $X$ menjadi variabel acak. Jika $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ dan $\text{Var}[X] = 0$ , apakah itu mengikuti $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Secara intuitif, ini tampak jelas, tetapi saya tidak yakin bagaimana saya akan membuktikannya. Saya tahu pasti bahwa dari asumsi, maka mengikuti $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Jadi

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Ini sepertinya tidak menuntun saya ke mana pun. Saya dapat mencoba $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Sekarang karena $\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , berarti $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ juga.

Tetapi jika saya menggunakan persamaan,

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ maka naluri saya adalah bahwa $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , sehingga $X \equiv k$ .

Bagaimana saya tahu ini? Saya kira bukti dengan kontradiksi.

Jika, sebaliknya, $X \neq k$ untuk semua $X$ , maka $(X-k)^2 > 0$ , dan $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ untuk semua $X$ . Kami memiliki kontradiksi, jadi $X \equiv k$ .

Apakah bukti saya masuk akal - dan jika demikian, apakah mungkin ada cara yang lebih baik untuk membuktikan klaim ini?

Berikut ini adalah ukuran bukti teoritik untuk melengkapi yang lain, hanya menggunakan definisi. Kami bekerja pada ruang probabilitas . Perhatikan bahwa dan pertimbangkan integral . Misalkan untuk beberapa , ada sehingga pada dan . Kemudian mendekati dari bawah, jadi dengan definisi standar sebagai supremum integral fungsi-fungsi sederhana yang mendekati dari bawah, $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ yang merupakan kontradiksi. Jadi, , . Selesai$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Buktikan ini dengan kontradiksi. Dengan definisi varians dan asumsi Anda, Anda miliki

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

di mana adalah densitas probabilitas . Perhatikan bahwa keduanya dan adalah tidak negatif.$f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Sekarang, jika , maka$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

memiliki ukuran lebih besar dari nol, dan . Tapi kemudian$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(beberapa argumen style dapat dimasukkan di sini) dan karenanya$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

dan kontradiksi Anda.

Apa itu ? Apakah itu sama dengan as?$X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc,$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Lagi pula, jelas itu

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Seharusnya

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

Kemudian

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

Langkah terakhir yang saya percaya melibatkan kesinambungan probabilitas ... atau apa yang Anda lakukan (Anda benar).

---

Ada juga Ketimpangan Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Senang berbicara lagi .

---

Btw kenapa begitu

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Sepertinya saya bahwa sementara$LHS = k$$RHS = k^2$