Bagaimana cara kerja metode transformasi terbalik?

Bagaimana cara kerja metode inversi?
Katakanlah saya memiliki sampel acak $X_1,X_2,...,X_n$ dengan kepadatan lebih dari dan karenanya dengan cdf pada . Kemudian dengan metode inversi saya mendapatkan distribusi sebagai . 0<x<1FX(x)=x1/θ(0,1)XF - 1 X(u)=u$f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$$F_X(x)=x^{1/\theta}$$(0,1)$$X$$F_X^{-1}(u)=u^\theta$

Jadi, apakah memiliki distribusi ? Apakah ini cara kerja metode inversi?$u^\theta$$X$

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

Metode ini sangat sederhana, jadi saya akan menjelaskannya dengan kata-kata sederhana. Pertama, ambil fungsi distribusi kumulatif dari beberapa distribusi yang ingin Anda sampel. Fungsi ini mengambil input beberapa nilai x dan memberi tahu Anda berapa probabilitas memperoleh X ≤ x . Begitu$F_X$$x$$X \leq x$

kebalikan dari fungsi fungsi tersebut, akan mengambil p sebagai input dan mengembalikan x . Perhatikan bahwa p 's secara seragam terdistribusi - ini dapat digunakan untuk pengambilan sampel dari setiap F X jika Anda tahu F - 1 X . Metode ini disebut inverse transform sampling . Idenya sangat sederhana: mudah untuk mengambil sampel nilai secara seragam dari U ( 0 , 1 ) , jadi jika Anda ingin sampel dari beberapa F X , ambil saja nilai u $F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$ dan lewati kamu melalui F - 1 X untuk mendapatkan x 's$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

atau dalam R (untuk distribusi normal)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Untuk memvisualisasikannya lihat CDF di bawah ini, secara umum, kami memikirkan distribusi dalam hal melihat sumbu untuk probabilitas nilai dari x- sumbu. Dengan metode pengambilan sampel ini kami melakukan yang sebaliknya dan mulai dengan "probabilitas" dan menggunakannya untuk memilih nilai yang terkait dengannya. Dengan distribusi diskrit, Anda memperlakukan U sebagai garis dari 0 hingga 1 dan menetapkan nilai berdasarkan di mana beberapa titik u terletak pada garis ini (mis. 0 jika 0 ≤ u < 0,5 atau 1 jika 0,5 ≤ u ≤ 1 untuk pengambilan sampel dari $y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$ ).$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

Sayangnya, ini tidak selalu mungkin karena tidak setiap fungsi memiliki kebalikannya, misalnya Anda tidak dapat menggunakan metode ini dengan distribusi bivariat. Itu juga tidak harus menjadi metode yang paling efisien dalam semua situasi, dalam banyak kasus algoritma yang lebih baik ada.

Anda juga bertanya apa distribusi . Karena F - 1 X adalah kebalikan dari F X , maka F X ( F - 1 X ( u ) ) = u dan F - 1 X ( F X ( x ) ) = x , jadi ya, nilai yang diperoleh dengan menggunakan metode tersebut memiliki distribusi yang sama seperti X . Anda dapat memeriksanya dengan simulasi sederhana$F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Ya, memiliki distribusi X .$U^θ$$X$

Dua poin tambahan pada intuisi di balik metode transformasi terbalik mungkin berguna

(1) Untuk memahami apa arti sebenarnya dari silakan merujuk ke grafik di jawaban Tim untuk Bantu saya memahami fungsi kuantil (CDF terbalik)$F^{-1}$

(2) [Tolong, abaikan saja yang berikut, jika itu membawa lebih banyak kebingungan daripada kejelasan]

Mari be variabel acak (rv) dengan terus menerus dan ketat meningkatkan cdf F . Kemudian F ( X ) ∼ Unif ( 0 , 1 ) Catatan tentang notasi: X adalah rv Oleh karena itu, fungsi rv X , F ( X ) adalah rv itu sendiri. $X$$F$

Misalnya, jika Anda akan membalik pertanyaan, sehingga Anda akan memiliki akses ke dan ingin menghasilkan seragam standar, maka X 1 / θ ∼ Unif ( 0 , 1 ) . Sebut saja variabel acak U ini . Jadi U = X 1 / θ Kembali ke pertanyaan Anda, Anda memiliki berlawanan tugas: untuk menghasilkan X dari U . Jadi, memang X = U $X$$X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

PS. Nama alternatif untuk metode ini adalah transformasi integral probabilitas, sampling transformasi terbalik, transformasi kuantil, dan, dalam beberapa sumber, "teorema dasar simulasi".