Peluang dibuat sederhana

Saya mengalami beberapa kesulitan dalam memahami peluang, dan saya hanya ingin penjelasan dasar tentang bagaimana menafsirkannya.

Saya telah menemukan berbagai posting yang terkait dengan peluang tetapi kebanyakan dari mereka lebih kompleks daripada apa yang saya coba pahami. Berikut ini adalah contoh bagaimana saya menafsirkan peluang: jika peluang suatu peristiwa terjadi adalah 3 banding 1, maka peristiwa itu akan terjadi 3 kali untuk setiap 1 kali itu tidak terjadi. Saya tidak tahu apakah interpretasi ini benar. Jadi, setiap panduan dan lebih banyak contoh tentang menafsirkan peluang akan sangat dihargai.

Di utas lain ada jawaban yang jauh lebih luas dari @gung yang juga menangani masalah teknis terkait seperti rasio peluang, tetapi saya akan tetap berpegang pada topik yang dibahas: bagaimana menafsirkan peluang, dan khususnya formulasi " to $a$$b$ ". Sebagai pertanyaan pemula, ada baiknya memikirkan bagaimana "peluang" diekspresikan dalam pidato sehari-hari (terutama dalam bahasa taruhan) serta apa arti peluang bagi seorang ahli statistik, karena perbedaan antara keduanya bermasalah bagi pelajar.

Untuk odds seperti yang diungkapkan oleh ahli statistik , pendapat Anda benar. Misalkan sebuah tas berisi empat token, tiga di antaranya adalah dan satu berwarna cokelat , dan satu token dipilih secara acak. The probabilitas bahwa token yang dipilih adalah aquamarine adalah 3 dari 4, yaitu $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$ , sering membaca "3 dalam 4". Dengan kemungkinan hasil yang sama,peluanguntuk aquamarine akan dihitung sebagai jumlah hasil yang menguntungkan (3) dibagi dengan jumlah hasil yang tidak menguntungkan (1), yaitu$\frac{3}{4}$, sering dibacatiga banding satuatau sama dengan angka "tiga". Secara lebih umum, Anda dapat mengambil fraksi "hasil yang menguntungkan dari pada hasil yang tidak menguntungkan" dan membatalkan (membagi) baik pembilang dan penyebut dengan jumlah total hasil, untuk mendapatkan "probabilitas hasil yang menguntungkan atas probabilitas hasil yang tidak menguntungkan", dari mana aljabar kecil memberi:$\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Peluang seperti yang diungkapkan oleh pembuat taruhan biasanya dikutip baik sebagai "peluang melawan" atau "peluang pada", dan ke mana mereka ditulis tampaknya menjadi penyebab umum kebingungan. Dalam apa yang disebut peluang Inggris , peluang pecahan atau peluang tradisional , peluang untuk aquamarine akan ditulis "3/1 on" atau "3-1 pada", dibaca sebagai . * Untuk penjudi, fakta ini "odds on" menunjukkan bahwa taruhan sebesar £ 3 pada aquamarine akan mengembalikan laba £ 1 jika berhasil (mereka benar-benar menerima £ 4, di mana £ 3 hanyalah kembalinya taruhan asli) sedangkan taruhan yang gagal menghasilkan hilangnya taruhan. Taruhan £ 3. Kita bisa melihat ini " peluang yang adil$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$"karena penjudi memiliki tiga peluang mendapatkan £ 1 dan satu peluang kehilangan £ 3, jadi rata-rata tidak ada untung atau rugi yang diharapkan. Sejauh ini, sedikit perbedaan:" peluang "hanyalah" peluang yang disukai "yang disukai oleh ahli statistik.

Untuk acara dengan probabilitas 50%, seperti kepala melempar koin - dua hasil yang sama-sama kemungkinan berhasil atau gagal - seorang ahli statistik akan mengatakan kemungkinannya adalah "satu banding satu", atau hanya1sedangkan taruhan yang adil akan memberikan peluang pecahan 1/1 (dibaca sebagai "rata"). Jadi tidak ada masalah di sini juga; namun, ketika probabilitas turun di bawah 50%, kami melihat bandar resume mengutip angka yang lebih besar dalam rasio sebelum yang lebih kecil.$\frac{1}{1}$$1$

Pertimbangkan perlombaan di mana keempat kuda (katakanlah F oinavon , G regalach , M on Mome dan T ipperary Tim ) sama-sama mungkin menang: kemudian dalam hal probabilitas , kita dapat mengatakan masing-masing memiliki "1 dalam 4" atau 0,25 peluang kemenangan. Bagaimana peluang yang adil untuk bertaruh, katakanlah, Foinavon? Hanya ada satu hasil yang menguntungkan (kemenangan untuk F) versus tiga hasil yang tidak menguntungkan (kemenangan untuk G, M atau T), sehingga ahli statistik akan menggambarkan peluang sebagai "1 sampai 3", atau secara numerik . Namun, seorang bandar taruhan yang menggunakan odds Inggris akan melihat odds tersebut sebagai "3 lawan 1", dan menuliskannya sebagai "3/1" atau 3-1 "(keduanya berbunyi" tiga banding satu ";" melawan "secara implisit dan tidak terucapkan). Bagi seorang penjudi, "peluang melawan" berarti taruhan sebesar £ 1 akan menghasilkan laba £ 3 jika berhasil (mereka benar-benar akan menerima £ 4, tetapi £ 1 dari ini adalah kembalinya taruhan asli) sedangkan jika tidak berhasil mereka kehilangan taruhan £ 1. Penjudi memiliki tiga peluang kehilangan £ 1 dan satu peluang memperoleh £ 3, jadi sekali lagi tidak ada laba / rugi yang diharapkan dan kemungkinannya adil. Sayangnya, "peluang melawan" (bentuk peluang yang biasa) ) tidak sesuai dengan "peluang mendukung" ahli statistik.$\frac{1}{3}$

Setiap kuda dalam perlombaan hipotetis kita mencapai ketenaran dengan sekali memenangkan Grand National dengan odds 100/1: karena ini adalah peluang tinggi ("panjang") melawan , mereka adalah " tembakan panjang " yang dianggap sangat tidak mungkin untuk menang, dan para pendukung mereka sangat tampan dihargai dengan keuntungan £ 100 per pound yang dipertaruhkan. Jika kita berpura-pura bahwa peluang taruhan adalah peluang yang adil (yang akan mengabaikan taruhan, atau "vig" ), dirasakan bahwa ada 100 cara kuda bisa kalah untuk setiap cara kuda itu menang, sehingga kemungkinan tersirat kesuksesan adalah . Sebaliknya, jika seorangahli statistik$\frac{1}{101}$ mengklaim suatu peristiwa memiliki peluang "100 banding 1", itu adalah klaim yang kemungkinan besar terjadi (dengan probabilitas ).$\frac{100}{101}$

Jika ada orang awam di audiens Anda yang berasal dari negara di mana peluang pecahan digunakan oleh para pembuat taruhan, dan secara teratur dikutip di media (mis. "Jeremy Corbyn bersiap untuk mengalahkan peluang 100-1 untuk menjadi pemimpin partai Buruh Inggris", The Guardian , 11 September 2015; "11 juta banding satu: Anak kembar empat lahir di Australia Selatan", Sydney Morning Herald , 30 Juli 2015) kemudian mengutip peluang dalam bentuk " to b " yang hampir pasti menyebabkan kebingungan.$a$$b$

$a$$b$ menguntungkan ke yang tidak menguntungkan), maka mungkin lebih baik untuk mengekspresikan "peluang statistik" sebagai angka tunggal, untuk membedakan mereka dari peluang pecahan taruhan. Sebelum menyajikan peluang statistik kepada audiens seperti itu, saya paling tidak akan membuat mereka menyadari hal-hal berikut:

• Peluang seorang ahli statistik sesuai dengan "peluang" taruhan. Jika Anda terbiasa "berselisih", peluang seorang ahli statistik mungkin tampak "salah arah". Misalnya, "10 banding 1" menunjukkan peristiwa yang sangat mungkin terjadi, dan "1000 banding 1" yang sangat mungkin!
• Seorang ahli statistik tidak perlu menempatkan angka yang lebih tinggi terlebih dahulu, sehingga peluang seperti "2 hingga 3" dapat digunakan untuk menunjukkan "2 peluang sukses ke 3 peluang kegagalan" (yaitu setelah banyak percobaan, rasio keberhasilan terhadap kegagalan harus sekitar 2). : 3 dan karenanya probabilitas keberhasilan adalah $\frac{2}{5}$ ).
• Sementara bandar taruhan lebih suka untuk memberi peluang sebagai rasio dari angka keseluruhan, ** ahli statistik akan sering menyederhanakan peluang mereka ke dalam bentuk "sesuatu untuk satu", bahkan jika ini memperkenalkan desimal (misalnya "5 ke 2" menjadi "2,5 banding 1") .
• $\frac{7}{9}$
• Pada skala ini, peluang nol mewakili suatu kemustahilan; peluang antara 0 dan 1 menunjukkan peluang yang kurang dari yang sebenarnya; peluang 1 menunjukkan peluang 50%; peluang di atas 1 menunjukkan acara lebih mungkin daripada tidak; suatu peristiwa tertentu akan memiliki peluang yang tak terbatas.

Secara matematis, kami punya

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

$1.33$$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$ (karena peluang Eropa termasuk kembalinya saham di payout).

$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$ , taruhan adalah nilai yang baik dan keuntungan yang diharapkan dari penjudi adalah positif.

$1.00$$2.00$$\infty$ untuk ketidakmungkinan). Lebih buruk lagi, jumlahnya bukan sekadar "jalan yang salah" tetapi sepenuhnya menyesatkan: seluruh konsep rasio hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan telah hilang.

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$, setara dengan "odds on". Angka -300 menunjukkan a$\$300$ stake makes $\$100$ profit, which is "3/1 on" in the British system or "3 to 1" for a statistician (the aquamarine bet).

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

---

Saya menghargai sebagian besar dari jawaban ini yang berkaitan dengan taruhan dan pembayaran daripada statistik, tetapi saya telah menemukan penggunaan "peluang" sehari-hari sangat berbeda dari definisi teknis ahli statistik, sehingga perbandingan menyeluruh dapat mengatasi beberapa kebingungan (keduanya bukan penjudi teknis, dan ahli statistik non-judi). Tentu saja ada hubungan historis dan filosofis yang mendalam antara taruhan dan statistik. The masalah poin bersangkutan pembagian yang adil dari panci hadiah dalam pertandingan judi terganggu, dan telah menghasilkan diskusi sejak abad pertengahan. Ketika Antoine Gombaud, chevalier de Méré mengajukan versi masalah pada 1654, korespondensi berikutnya dari Blaise Pascal dan Pierre de Fermatpada masalah meletakkan dasar teori probabilitas. Baru-baru ini, Frank Ramsey (pada 1920-an) dan Bruno de Finetti (pada 1930-an) memeriksa koherensi taruhan (terkait dengan fenomena perjudian buku Belanda ) sebagai pembenaran probabilitas Bayesian: jika probabilitas subjektif seorang agen atau tingkat Keyakinan tidak menaati aksioma probabilitas , maka mereka tidak koheren dan buku Belanda dapat dibuat melawan agen itu, membuat mereka kehilangan sesuatu. Stanford Encyclopedia of Philosophy memiliki artikel tentang "Argumen Buku Belanda" .

---

($*$) Saya sengaja menyederhanakan di sini untuk tujuan pedagogis. Sebenarnya para bandar taruhan tidak konsisten dalam hal ini: peluang ini mungkin ditulis "1/3" (menandakan "satu lawan tiga melawan"), meskipun ini mungkin masih dibaca dengan keras sebagai "tiga lawan satu"! Namun, sementara seorang taruhan mungkin menulis angka yang lebih kecil terlebih dahulu dalam odds melawan taruhan, mereka tidak akan pernah membingkai odds pada taruhan dengan cara ini: "1/3 pada" secara teoritis akan sama dengan "3/1 [melawan]", tetapi dalam praktiknya akan selalu dikutip dalam bentuk yang terakhir.

($**$Di samping itu, para bandar taruhan tidak selalu membatalkan seluruh angka ini dengan ketentuan terendah: "6/4" sering diiklankan (" ear'ole "), jadi mungkin para bandar percaya bahwa keuntungan £ 6 pada saham £ 4 lebih bersifat psikologis. menarik daripada prospek laba £ 3 dengan kepemilikan £ 2. Saya telah mendengarnya berargumen, meskipun kebenaran yang saya tidak tahu, bahwa "100/30" bertahan karena "10 sampai 3" bisa keliru untuk waktu perlombaan. Peluang Hong Kong adalah peluang pecahan (terhadap) dibatalkan menjadi satu nomor, sehingga "5/2 terhadap" menjadi 2,5; keuntungan dari taruhan yang menang (tidak termasuk pengembalian taruhan) kemudian odds Hong Kong dikalikan dengan taruhan. Peluang Hong Kong di bawah satu menunjukkan peluang lebih besar dari 50%; mereka adalah kebalikan dari peluang statistik.