Apa autokorelasi untuk jalan acak?

Sepertinya sangat tinggi, tapi ini berlawanan dengan intuisi saya. Bisakah seseorang tolong jelaskan? Saya sangat bingung dengan masalah ini dan akan menghargai penjelasan yang terperinci dan mendalam. Terima kasih banyak sebelumnya!

(Saya menulis ini sebagai jawaban untuk posting lain, yang ditandai sebagai duplikat dari yang ini ketika saya sedang menyusunnya; saya pikir saya akan mempostingnya di sini daripada membuangnya. Sepertinya itu mengatakan hal-hal yang mirip dengan whuber's jawab tetapi cukup berbeda bahwa seseorang mungkin mendapatkan sesuatu dari yang ini.)

Sebuah random walk adalah dari bentuk $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

$t$$y_t$$y_{t-1}$

$y_t$$y_{t-1}$

$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$$\sqrt{t}$

$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

---

Berikut adalah Rkode yang menghasilkan gambar.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))