batas

Saya bertanya-tanya tentang menunjukkan batas:

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$ di mana adalah fungsi distribusi tail,

, di mana

adalah fungsi distribusi kumulatif

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Sebagai $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , jadi kami memiliki formulir tak tentu, saya menulis ulang sebagai:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ dan gunakan aturan L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ tetapi ini membutuhkan pengetahuan

f

$f$ sebagai

x \to \infty

$x \to \infty$ yang tidak saya miliki memiliki.

Bagaimana cara saya mengevaluasi batas ini?

probability cdf dimebucker91
sumber

Anda harus mengklarifikasi asumsi Anda: hasil yang diklaim tidak benar secara umum (misalnya untuk Pareto), tetapi berlaku ketika

X

$X$ positif

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Petunjuk: gunakan

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

Yves

@Solitary nitpicking sedikit, tetapi kondisinya sebenarnya sedikit lebih lemah yang membutuhkan keterpaduan. Sebagai contoh, seseorang dapat menunjukkan menyiratkan untuk semua benar-benar kurang dari . Tetapi itu tidak benar untuk secara umum. Dari atas kepala saya, saya pikir kepadatan sebanding dengan untuk memberikan contoh tandingan, tapi saya akui bahwa saya belum melakukan perhitungan.

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$

q

$q$

p

$p$

q = p

$q = p$

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$

x > 2

$x > 2$

pria

Ini terbukti dalam sebuah makalah dengan nama konyol, aturan darth vader di halaman 2. Makalah ini sebenarnya bukan tentang pertanyaan Anda, tetapi mereka menjawab pertanyaan Anda di dalamnya.

RayVelcoro

Jawaban:

Dengan asumsi bahwa ada harapan dan untuk kenyamanan bahwa variabel acak memiliki kepadatan (ekuivalen bahwa itu benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan ukuran Lebesgue), kami akan menunjukkan bahwa

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

Adanya harapan menyiratkan bahwa distribusi tidak terlalu gemuk, tidak seperti distribusi Cauchy misalnya.

Karena ada harapan, kami memilikinya

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

dan ini selalu didefinisikan dengan baik. Sekarang perhatikan bahwa untuk , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

dan dari dua ini mengikuti itu

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

seperti pada batas, istilah mendekati ekspektasi. Dengan ketidaksetaraan dan non-negatifitas integrasi kita, maka kita mendapatkan hasil. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

Semoga ini membantu.

JohnK
sumber

Terima kasih (+1). Santai asumsi: ketika, misalnya,

F

$F$ adalah distribusi Cauchy, maka nilai pembatas dari

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$ adalah

1 / π

$1/\pi$ , bukan nol. Untuk Pelajar

t

$t$ distribusi dengan parameter kurang dari

1

$1$ (

1

$1$ menunjukkan Cauchy), batas ini tidak terbatas.

whuber

Untuk variabel acak non-negatif $Y$ , Kita memiliki (lihat (21,9) dari Billingsley 's Probabilitas dan ukuran ):

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$ Untuk

M > 0

$M > 0$ , mengganti

Y

$Y$ oleh

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$ petunjuk dari

(*)

$(*)$ untuk

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Asumsikan bahwa $X$ dapat diintegrasikan (yaitu, $E[|X|]< \infty$ ), lalu sisi kiri $(**)$ konvergen ke $0$ sebagai $M \to \infty$ , oleh teorema konvergensi yang didominasi. Kemudian mengikuti itu

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$ Maka hasilnya berikut.

Catatan: Bukti ini menggunakan beberapa teori ukuran, yang saya pikir bermanfaat karena bukti yang mengasumsikan keberadaan kepadatan tidak membahas kelas mayoritas variabel acak, misalnya, variabel acak diskrit seperti binomial dan Poisson.

Zhanxiong
sumber

Buktinya tidak benar-benar membutuhkan itu

X

$X$ dapat diintegrasikan, tetapi hanya itu

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$ menjadi sedemikian untuk beberapa yang terbatas

x_{0}

$x_0$ , karenanya

X

$X$ dapat memiliki ekor kiri yang berat. Identitas dari buku Billingsley sebenarnya tidak diperlukan lagi sejak itu

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$ cenderung

0

$0$ untuk

x \to \infty

$x \to \infty$ dengan probabilitas satu.

Yves

@ Yves @ guy Ya, poin bagus. Integrabilitas hanyalah satu kondisi yang cukup tetapi tidak pernah merupakan kondisi yang diperlukan. Namun, itu mungkin kondisi paling ringkas dan normal yang dikenakan untuk mendapatkan hubungan yang diminta oleh OP.

Zhanxiong

BAIK. Alternatif singkat:

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$ .

Yves

@Yves Tentu saja :)

Zhanxiong