Saya cukup baru dalam hal ini, jadi saya harap Anda memaafkan saya jika pertanyaannya naif. (Konteks: Saya belajar ekonometrik dari buku Davidson & MacKinnon "Teori dan Metode Econometrik" , dan mereka sepertinya tidak menjelaskan ini; Saya juga melihat buku optimisasi Luenberger yang berkaitan dengan proyeksi pada tingkat yang sedikit lebih maju, tetapi tanpa keberuntungan).
Misalkan saya memiliki proyeksi ortogonal dengan dikaitkan proyeksi matriks . Saya tertarik memproyeksikan setiap vektor di ke dalam beberapa subruang .
Pertanyaan : mengapa mengikuti bahwa , yaitu, simetris? Buku teks apa yang bisa saya lihat untuk hasil ini?
regression
least-squares
weez13
sumber
sumber
Jawaban:
Ini adalah hasil mendasar dari aljabar linier pada proyeksi ortogonal. Pendekatan yang relatif sederhana adalah sebagai berikut. Jika adalah vektor ortonormal mencakup sebuah m berdimensi ruang bagian A , dan U adalah n × p matriks dengan u i 's sebagai kolom, maka P = U U T . Ini mengikuti langsung dari fakta bahwa proyeksi ortogonal x ke A dapat dihitung dalam hal dasar ortonormal dari A sebagai m Σ i = 1u1,…,um m A U n×p ui
Dimungkinkan juga untuk memberikan argumen yang berbeda. Jika adalah matriks proyeksi untuk proyeksi ortogonal, maka, menurut definisi, untuk semua x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . Akibatnya, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - PP x,y∈Rn
untuk semua x , y ∈ R n . Menunjukkan bahwa P T = P T P , mana P = ( P T ) T = ( P T P ) T = P T P = P T .
sumber
Upaya intuisi geometris ... Ingat bahwa:
sumber