Buktikan / Tolak

10

Buktikan / Tolak E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


Mengingat ruang probabilitas disaring (Ω,F,{Fn}nN,P) , biarkan AF .

Misalkan

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
Apakah itu mengikuti
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?
Bagaimana s<t ?

Bagaimana jika sebaliknya Atau bagaimana jika E [ 1 A | F t ] = p a.s. untuk beberapa p ( 0 , 1 ) ?

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?

Apa yang saya coba:


E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s

E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s

E[1A|Ft]=pp(0,1)

E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t

=p

FFt

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t

FsFs

BCLC
sumber

Jawaban:

5

E[1A|Ft]=1E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]=1BBFtF1BdP=F1AdPFFtF=BP(B)=P(AB)BAE[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)A=B

s>tFtFsE[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1AE[1A|Fs]=1As>t1As<tAFsE[1A|Fs]=1AAFsE[1A|Fs]A={ω2}F2F1E[1A|F0]=181ΩE[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}E[1A|F3]=1{ω2}

S. Catterall Reinstate Monica
sumber
P(B)=P(AB)BAE[1A|Ft]=1A
1
AF00
@ocramz dan S. Catterall, selesai mengedit. Bagaimana ini? ^ - ^
BCLC
1
AωiAA0
1
P(B)=P(AB)BABAcBP(AcB)=0BAP(A)=P(B)A=BFt