Bagaimana cara menghitung untuk statistik pesanan dari distribusi yang seragam?

Saya mencoba menyelesaikan masalah untuk tesis saya dan saya tidak tahu bagaimana melakukannya. Saya memiliki 4 pengamatan yang diambil secara acak dari distribusi seragam . Saya ingin menghitung probabilitas bahwa . adalah statistik urutan ke-i (saya mengambil statistik urutan sehingga pengamatan saya diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar). Saya telah menyelesaikannya untuk kasus yang lebih sederhana, tetapi di sini saya bingung bagaimana melakukannya.$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

Semua bantuan akan disambut.

Tulis statistik pesanan sebagai , . Mulailah dengan mencatat bahwa menyiratkan0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ 1 x 1 ≤ x $(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Peristiwa terakhir ini dibagi menjadi dua peristiwa terpisah tergantung pada dan mana yang lebih besar: ( x 2 + x 3 ) /$x_2$$(x_2+x_3)/2$

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

Karena distribusi gabungannya seragam pada set , dengan kepadatan ,4 ! d x 4 d x 3 d x 2 d x $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

dan

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(Setiap integral mudah untuk tampil sebagai integral yang diiterasi; hanya integrasi polinomial yang terlibat.)

Karena itu probabilitas yang diinginkan sama dengan = .1 /$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

Edit

Solusi yang lebih pintar (yang menyederhanakan pekerjaan) berasal dari pengakuan bahwa ketika memiliki distribusi eksponensial, , kemudian (menulis ) , jumlah parsial yang diskalakan 1 ≤ j ≤ n + 1 y 1 + y 2 + ⋯ + y n + 1 = $y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

Y n ≥ $1\le i\le n$ , didistribusikan seperti statistik pesanan seragam. Karena hampir pasti positif, maka dengan mudah bahwa untuk setiap ,$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$