Dua definisi nilai-p: bagaimana membuktikan kesetaraannya?

Saya membaca buku Larry Wasserman, All of Statistics , dan saat ini tentang nilai-p (halaman 187). Ijinkan saya memperkenalkan beberapa definisi (saya kutip):

Definisi 1 Fungsi daya pengujian dengan wilayah penolakan didefinisikan oleh Ukuran tes didefinisikan sebagai Suatu tes dikatakan memiliki level \ alpha jika ukurannya kurang dari atau sama dengan \ alpha .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Ini pada dasarnya mengatakan bahwa $\alpha$ , ukurannya adalah probabilitas "terbesar" dari kesalahan tipe I. Nilai- $p$ kemudian didefinisikan melalui (saya kutip)

Definisi 2 Misalkan untuk setiap $\alpha\in(0,1)$ kami memiliki tes ukuran $\alpha$ dengan rejection region $R_\alpha$ . Kemudian,

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ mana $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Bagi saya ini berarti: diberi \ alpha tertentu $\alpha$ada daerah pengujian dan penolakan $R_\alpha$ sehingga $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Untuk $p$ -value saya cukup mengambil yang terkecil dari semua ini $\alpha$ .

Pertanyaan 1 Jika ini masalahnya, maka saya dapat dengan jelas memilih $\alpha = \epsilon$ untuk ukuran kecil \ epsilon yang sewenang-wenang $\epsilon$. Apa interpretasi saya yang salah dari definisi 2, yaitu apa artinya sebenarnya?

Sekarang Wasserman terus menerus dan menyatakan teorema untuk memiliki definisi "ekuivalen" dari $p$ -nilai yang saya kenal (saya kutip):

Teorema Misalkan ukuran test adalah dari bentuk Kemudian, mana adalah nilai yang diamati dari .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Jadi inilah pertanyaan kedua saya:

Pertanyaan 2 Bagaimana saya dapat benar-benar membuktikan teorema ini? Mungkin karena kesalahpahaman saya tentang definisi nilai- , tapi saya tidak bisa mengetahuinya.$p$

Kami memiliki beberapa data multivarian , diambil dari distribusi dengan beberapa parameter yang tidak diketahui . Perhatikan bahwa adalah hasil sampel.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Kami ingin menguji beberapa hipotesis tentang parameter yang tidak diketahui , nilai bawah hipotesis nol ada di set .$\theta$$\theta$$\theta_0$

Dalam ruang , kita dapat mendefinisikan daerah penolakan , dan kekuatan wilayah ini kemudian didefinisikan sebagai . Jadi kekuatan dihitung untuk nilai tertentu dari sebagai probabilitas bahwa hasil sampel berada di daerah penolakan ketika nilai adalah . Jelas daya tergantung pada wilayah dan pada .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

Definisi 1 mendefinisikan ukuran wilayah$R$ sebagai supremum dari semua nilai untuk di , jadi hanya untuk nilai bawah . Jelas ini tergantung pada daerah, sehingga .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Karena tergantung pada kita memiliki nilai lain ketika kawasan berubah, dan ini adalah dasar untuk mendefinisikan nilai-p: mengubah wilayah, tetapi sedemikian rupa sehingga nilai sampel yang diamati masih menjadi milik wilayah, untuk masing-masing daerah tersebut, menghitung sebagaimana didefinisikan di atas dan mengambil infimum yang: . Jadi nilai-p adalah ukuran terkecil dari semua wilayah yang mengandung .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Teorema ini kemudian hanya merupakan 'terjemahannya', yaitu kasus di mana daerah didefinisikan menggunakan statistik dan untuk nilai Anda mendefinisikan suatu daerah sebagai . Jika Anda menggunakan tipe wilayah dalam alasan di atas, maka teorema berikut.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

Sunting karena komentar:

@ user8: untuk teorema; jika Anda mendefinisikan daerah penolakan seperti dalam teorema, maka wilayah penolakan ukuran adalah himpunan yang terlihat seperti untuk beberapa .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Untuk menemukan nilai p dari nilai yang diamati , yaitu Anda harus menemukan wilayah terkecil , yaitu nilai sehingga masih mengandung , yang terakhir (wilayah berisi ) adalah setara (karena cara daerah didefinisikan) untuk mengatakan bahwa , jadi Anda harus menemukan terbesar sehingga$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Jelas, terbesar sehingga harus dan kemudian supra set menjadi$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Dalam Definisi 2, nilai dari statistik uji adalah batas bawah terbesar semua sehingga hipotesis ditolak untuk uji ukuran . Ingatlah bahwa semakin kecil kita membuat , semakin sedikit toleransi untuk kesalahan Tipe I yang kami izinkan, sehingga wilayah penolakan juga akan berkurang. Jadi (sangat) berbicara secara informal, -value adalah terkecil yang dapat kita pilih yang masih memungkinkan kita menolak untuk data yang kami amati. Kami tidak dapat secara sewenang-wenang memilih lebih kecil karena pada titik tertentu,$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ akan sangat kecil sehingga akan mengecualikan (yaitu, gagal mengandung) peristiwa yang kami amati.

Sekarang, sehubungan dengan hal di atas, saya mengundang Anda untuk mempertimbangkan kembali teorema.