Apa 'momen' tentang 'momen' dari distribusi probabilitas?

65

SAYA TAHU momen apa dan bagaimana cara menghitungnya dan bagaimana menggunakan fungsi menghasilkan momen untuk mendapatkan momen pesanan yang lebih tinggi. Ya, saya tahu matematika.

Sekarang karena saya perlu mendapatkan pengetahuan statistik saya untuk bekerja, saya pikir saya mungkin juga mengajukan pertanyaan ini - sudah mengganggu saya selama beberapa tahun dan kembali di perguruan tinggi tidak ada profesor yang tahu jawabannya atau hanya akan mengabaikan pertanyaan (jujur) .

Jadi apa arti kata "momen" dalam kasus ini? Mengapa pilihan kata ini? Kedengarannya tidak intuitif bagi saya (atau saya tidak pernah mendengarnya seperti itu di perguruan tinggi :) Kalau dipikir-pikir saya sama penasaran dengan penggunaannya dalam "momen inersia";) tetapi jangan fokus pada hal itu untuk saat ini.

Jadi, apa arti "momen" dari suatu distribusi dan apa yang ingin dilakukannya dan mengapa kata ITU! :) Mengapa ada yang peduli tentang momen? Saat ini saya merasa sebaliknya tentang momen itu;)

PS: Ya, saya mungkin pernah mengajukan pertanyaan serupa tentang varian tetapi saya menghargai pemahaman intuitif tentang 'lihat di buku untuk mencari tahu' :)

distributions terminology moments intuition PhD
sumber

5

Untuk pilihan kata, mulailah dengan etimologinya .

whuber

2

@whuber: yeah! Mencari tahu sebelum mengajukan pertanyaan ini - bertahun-tahun yang lalu juga;)

PhD

Saya akan menggabungkan etimologi yang disediakan oleh @whuber dengan ini ( thefreedictionary.com/moment ) melihat definisi Matematika / Stat yang dikutip dari Collins English Dictionary. Dikombinasikan dengan definisi penggunaan umum seperti "periode waktu singkat" atau "contoh spesifik." Saya cukup yakin bahwa momen dalam pengertian matematika / stat kita dapat dipertukarkan dengan poin. Hanya titik-titik ini memiliki signifikansi tertentu dalam aplikasi tertentu (MGF atau MOI) sebelum Descartes geometri dan aljabar tidak memiliki tautan sistematis sehingga mereka mungkin memiliki berbagai istilah berbeda untuk apa yang sebenarnya merupakan hal yang sama.

Chris Simokat

4

Itu dari Macbeth: " Siapa yang bisa menjadi bijak, terkagum-kagum, bersahaja dan marah, Setia dan netral, sebentar lagi? " Macbeth: Bertindak ii. Sc. 3

serigala

62

Menurut makalah "Pertama (?) Kemunculan Istilah Umum dalam Statistik Matematika" oleh HA David, penggunaan pertama dari kata 'saat' dalam situasi ini adalah dalam surat tahun 1893 ke Alam oleh Karl Pearson berjudul "Kurva Frekuensi Asimetris" .

Makalah Biometrika Neyman tahun 1938 "Catatan Sejarah tentang Pengurangan Momen Binomial karya Karl Pearson" memberikan sinopsis yang baik dari surat itu dan karya Pearson selanjutnya pada saat-saat distribusi binomial dan metode momen. Ini bacaan yang sangat bagus. Semoga Anda memiliki akses JSTOR karena saya tidak punya waktu sekarang untuk memberikan ringkasan makalah yang baik (meskipun saya akan akhir pekan ini). Meskipun saya akan menyebutkan satu bagian yang dapat memberikan wawasan mengapa istilah 'momen' digunakan. Dari makalah Neyman:

Ini [memoar Pearson] terutama berkaitan dengan metode perkiraan kurva frekuensi kontinu melalui beberapa proses yang melibatkan perhitungan formula mudah. Salah satu formula yang dipertimbangkan adalah "titik-binomial" atau "binomial dengan ordinat yang dimuat". Rumus
berbeda dari apa yang hari ini kita sebut binomial, yaitu. (4), hanya dengan faktor , yang mewakili area di bawah kurva kontinu yang diinginkan agar sesuai. $\alpha$

Inilah yang akhirnya mengarah pada 'metode momen'. Neyman membahas derivasi Pearson tentang momen-momen binomial dalam tulisan di atas.

Dan dari surat Pearson:

Sekarang kita akan melanjutkan untuk menemukan empat momen pertama dari sistem persegi panjang bulat GN. Jika inersia masing-masing persegi panjang dapat dianggap terkonsentrasi sepanjang pertengahan vertikal, kita harus memiliki untuk momen sG putaran NG, menulis . $s^{\text{th}}$ $d = c(1 + nq)$

Ini mengisyaratkan fakta bahwa Pearson menggunakan istilah 'momen' sebagai kiasan untuk 'momen inersia,' istilah yang umum dalam fisika.

Berikut pemindaian sebagian besar surat Nature Pearson :

masukkan deskripsi gambar di sini

Anda dapat melihat seluruh artikel di halaman 615 di sini .

Nick Cox
sumber

1

Bisakah saya memberi +100 untuk jawaban ini? ;)

PhD

5

@Nupul, Anda bisa memberi +100 sebagai hadiah. Hadiah dapat diberikan ketika pertanyaan berumur dua hari.

mpiktas

4

@Nupul Amati beberapa referensi Pearson untuk "gravitasi." Jelas dia beralasan dengan analogi fisik. Ini mendorong kembali pertanyaan mengapa fisika menggunakan istilah "momen" untuk hal-hal seperti itu. Saya percaya itu hanyalah generalisasi alami dari gagasan momen inersia (momen kedua), yang Anda temukan dirujuk dalam tautan etimologi untuk "momen". Itulah sebabnya etimologinya relevan.

whuber

4

Fisika mengakui momen yang lebih tinggi daripada momen kedua, Nupul, dan rumusnya identik dengan statistik. Seseorang hanya menerjemahkan "kerapatan" suatu objek menjadi "kerapatan probabilitas". Faktanya, fisika telah menggeneralisasi ide tersebut menjadi momen ekspansi koefisien deret pangkat dalam beberapa sistem koordinat yang tepat.

whuber

3

@Nupul Saya tidak tahu apakah saya bisa menambahkan sesuatu lebih dari apa yang dikatakan whuber. Saya berpikir bahwa apa pun di luar apa yang saya tautkan dalam tanggapan saya dan komentar Whuber mungkin dapat diatasi secara lebih menyeluruh dalam Fisika SE . Dan jika itu masih belum cukup 'mendalam', selalu ada SE Inggris yang tag ke-5 yang paling banyak digunakan adalah 'etimologi.' Tapi, pertanyaan bagus! Menikmati meneliti dan menemukan 3 makalah besar yang saya tidak pernah tahu ada.

7

Setiap orang memiliki momennya pada saat-saat tertentu. Saya memiliki nama saya di Cumulant dan nama-nama saat di luar varian, kecondongan dan kurtosis , dan menghabiskan beberapa waktu membaca utas gorila ini.

Anehnya, saya tidak menemukan "penyebutan momen" dalam "makalah HA David. Jadi saya pergi ke Karl Pearson: Kehidupan Ilmiah dalam Zaman Statistik , sebuah buku karya TM Porter. Dan Karl Pearson dan Asal-usul Statistik Modern: Seorang Elastisian menjadi seorang ahli statistik, misalnya, dia menyunting Sejarah Teori Elastisitas dan Kekuatan Material dari Galilei hingga Masa Sekarang .

Latar belakangnya sangat luas, dan ia adalah seorang profesor teknik dan elastisis, yang terlibat dalam menentukan momen lentur dari rentang jembatan dan menghitung tekanan pada bendungan batu. Dalam elastisitas, seseorang hanya mengamati apa yang sedang terjadi (pecah) secara terbatas. Dia tampaknya tertarik pada (dari buku Porter):

perhitungan grafis atau, dalam bentuk yang paling bermartabat dan matematis, statika grafis.

Kemudian:

Dari awal karier statistiknya, dan bahkan sebelum itu, ia menyesuaikan kurva menggunakan "metode momen". Dalam mekanika, ini berarti mencocokkan tubuh yang rumit dengan tubuh yang sederhana atau abstrak yang memiliki pusat massa dan "jari-jari ayunan" yang sama, masing-masing pada momen pertama dan kedua. Kuantitas ini sesuai dalam statistik dengan rata-rata dan penyebaran atau dispersi pengukuran di sekitar rata-rata.

Dan sejak:

Pearson berurusan dengan interval pengukuran diskrit, ini adalah jumlah daripada integral

Momen inersia dapat berdiri untuk ringkasan tubuh yang bergerak: perhitungan dapat dilakukan seolah-olah tubuh dikurangi menjadi satu titik.

Pearson mengatur lima persamaan ini sebagai sistem persamaan, yang digabungkan menjadi satu dari tingkat kesembilan. Solusi numerik hanya mungkin dilakukan dengan pendekatan yang berurutan. Mungkin ada sembilan solusi nyata, meskipun dalam contoh saat ini hanya ada dua. Dia membuat grafik kedua hasil di samping yang asli, dan umumnya senang dengan penampilan hasilnya. Dia tidak, bagaimanapun, bergantung pada inspeksi visual untuk memutuskan di antara mereka, tetapi menghitung momen keenam untuk memutuskan pertandingan terbaik

Mari kita kembali ke fisika. Momen adalah kuantitas fisik yang memperhitungkan pengaturan lokal dari properti fisik, umumnya berkenaan dengan titik atau sumbu ordinal tertentu (klasik dalam ruang atau waktu). Ini meringkas jumlah fisik yang diukur pada jarak tertentu dari referensi. Jika kuantitas tidak terkonsentrasi pada satu titik, momen itu "dirata-rata" di seluruh ruang, dengan cara integral atau jumlah.

Rupanya, konsep momen dapat ditelusuri kembali ke penemuan prinsip pengoperasian tuas "ditemukan" oleh Archimedes. Salah satu kemunculan pertama yang diketahui adalah kata Latin "momentorum" dengan pengertian yang diterima saat ini (momen tentang pusat rotasi). Pada 1565, Federico Commandino menerjemahkan karya Archimedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) sebagai:

Pusat gravitasi dari masing-masing sosok padat adalah titik di dalamnya, di mana pada semua sisi bagian dari momen yang sama berdiri.

atau

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, sekitar bagian yang tidak biasa

Jadi rupanya, analogi dengan fisika cukup kuat: dari bentuk fisik diskrit yang rumit, temukan jumlah yang cukup mendekati, bentuk kompresi atau kekikiran.

Laurent Duval
sumber

6

Menjadi terlalu sederhana, momen statistik adalah deskriptor tambahan dari kurva / distribusi. Kami terbiasa dengan dua momen pertama dan ini umumnya berguna untuk distribusi normal terus menerus atau kurva serupa. Namun dua momen pertama ini kehilangan nilai informasi mereka untuk distribusi lain. Dengan demikian momen-momen lain memberikan informasi tambahan tentang bentuk / bentuk distribusi.

Daniel I Shostak
sumber

1

Saya tidak berpikir bahwa arti dari dua momen pertama kehilangan makna untuk semua distribusi yang tidak normal, misalnya, waktu tinggal rata-rata pada umumnya adalah momen pertama atau rata-rata integral dari suatu waktu dalam suatu deret waktu.

Carl

5

Pertanyaan: Jadi apa arti kata "momen" dalam kasus ini? Mengapa pilihan kata ini? Kedengarannya tidak intuitif bagi saya (atau saya tidak pernah mendengarnya seperti itu di perguruan tinggi :) Kalau dipikir-pikir saya sama penasaran dengan penggunaannya dalam "momen inersia";) tetapi jangan fokus pada hal itu untuk saat ini.

Jawaban: Sebenarnya, dalam arti historis, momen inersia mungkin berasal dari arti kata momen. Memang, seseorang dapat (seperti di bawah) menunjukkan bagaimana momen inersia berhubungan dengan varians. Ini juga menghasilkan interpretasi fisik dari momen yang lebih tinggi.

Dalam fisika, momen adalah ekspresi yang melibatkan produk jarak dan kuantitas fisik, dan dengan cara ini menjelaskan bagaimana kuantitas fisik ditempatkan atau diatur. Momen biasanya didefinisikan sehubungan dengan titik referensi tetap; mereka berurusan dengan jumlah fisik yang diukur agak jauh dari titik referensi itu. Misalnya, momen gaya yang bekerja pada suatu benda, sering disebut torsi, adalah produk gaya dan jarak dari titik referensi, seperti pada contoh di bawah ini.

Kurang membingungkan daripada nama - nama yang biasanya diberikan , misalnya, hyperflatness dll untuk momen yang lebih tinggi akan menjadi momen dari gerakan melingkar misalnya, momen inersia untuk gerakan melingkar , benda kaku yang merupakan konversi sederhana. Akselerasi sudut adalah turunan dari kecepatan sudut, yang merupakan turunan dari sudut terhadap waktu, yaitu, . Pertimbangkan bahwa momen kedua analog dengan torsi yang diterapkan pada gerakan melingkar, atau jika Anda akan melakukan akselerasi / deselerasi (juga turunan kedua) dari lingkaran itu (yaitu, sudut, $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$ ) gerak. Demikian pula, momen ketiga adalah laju perubahan torsi, dan seterusnya dan seterusnya untuk momen yang lebih tinggi untuk membuat laju perubahan laju perubahan laju perubahan, yaitu turunan berurutan dari gerakan melingkar. Ini mungkin lebih mudah untuk memvisualisasikan ini dengan contoh aktual.

Ada batasan untuk masuk akal secara fisik, misalnya, di mana objek dimulai dan berakhir, yaitu, dukungannya, yang menjadikan perbandingan lebih atau kurang realistis. Mari kita ambil contoh distribusi beta, yang memiliki dukungan (terbatas) pada [0,1] dan menunjukkan korespondensi untuk itu. Fungsi kepadatan distribusi beta ( pdf ) adalah mana , dan adalah fungsi gamma , .

β (x; α, β) = \begin{array}{cc} { & \begin{array}{cc} \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} & 0 < x < 1 \\ 0 & True \end{array} \end{array},

$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (.)

$\Gamma(.)$

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- x} d x

$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

Berarti ini kemudian saat pertama rotasi di sekitar yang -sumbu untuk beta fungsi diplot sebagai lembaran tipis kaku berputar kepadatan daerah yang seragam dengan minimum -nilai ditempelkan ke (0,0,0) asal, dengan basis di bidang . seperti yang diilustrasikan untuk , yaitu, , di bawah $z$ $x$ $x,y$

μ = \int_{0}^{1} r β (r; α, β) d r = \frac{α}{α + β},

$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

μ = \frac{1}{2}

$\mu=\dfrac{1}{2}$

Perhatikan bahwa tidak ada yang mencegah kita memindahkan lembaran tipis distribusi beta ke lokasi lain dan menskalakan ulang, misalnya, dari ke , atau mengubah bentuk vertikal, misalnya menjadi dayung daripada punuk. $0\leq r\leq1$ $2\leq r\leq4$

Untuk menghitung varians distribusi beta, kami akan menghitung momen inersia untuk distribusi beta bergeser dengan nilai rata-rata ditempatkan pada sumbu rotasi, yang untuk , yaitu, , di mana adalah momen inersia, terlihat seperti ini, $r$ $z$

σ^{2} = \int_{0}^{1} (r - μ)^{2} β (r; α, β) d r = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)},

$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

I = σ^{2} = \frac{1}{20}

$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$

I

$I$

Sekarang untuk momen yang disebut 'pusat' yang lebih tinggi , yaitu momen tentang mean, seperti skewness, dan kurtosis, kita menghitung momen sekitar mean dari Ini juga dapat dipahami sebagai turunan dari gerakan melingkar. $n^{\text{th}}$

\int_{0}^{1} (r - μ)^{n} β (r; α, β) d r .

$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$

n^{th}

$n^{\text{th}}$

Bagaimana jika kita ingin menghitung mundur, yaitu, mengambil objek padat 3D dan mengubahnya menjadi fungsi probabilitas? Segala sesuatunya menjadi sedikit rumit. Sebagai contoh, mari kita ambil torus .

Pertama kita mengambil penampang lingkarannya, lalu kita membuatnya menjadi setengah elips untuk menunjukkan kepadatan koin datar seperti irisan, kemudian kita mengkonversi koin menjadi koin berbentuk baji untuk menjelaskan peningkatan kepadatan dengan meningkatnya jarak ( ) dari sumbu, dan akhirnya kita menormalkan untuk membuat fungsi kepadatan. Ini diuraikan secara grafis di bawah ini dengan matematika diserahkan kepada pembaca. $r$ $z$

Akhirnya, kami bertanya bagaimana persamaan ini berhubungan dengan gerak? Perhatikan bahwa seperti di atas momen inersia, , dapat dibuat terkait dengan momen sentral kedua, , AKA, varians. Kemudian , yaitu rasio torsi, , dan percepatan sudut, . Kami kemudian akan berdiferensiasi untuk mendapatkan tingkat perubahan waktu pesanan yang lebih tinggi. $I$ $\sigma^2$ $I=\dfrac{\tau}{a}$ $\tau$ $a$

Carl
sumber

Koneksi antara momen dan turunannya tidak jelas. (Sudah pasti ada, tetapi hubungan biasanya terungkap melalui Transformasi Fourier.) Bisakah Anda menunjukkan secara eksplisit bagaimana dan mengapa momen dapat ditafsirkan sebagai turunan? Bagaimana cara kerjanya?

Whuber

@whuber Kemudian, sementara lihat tautan momen di atas, ini menunjukkan ||.

Carl

Terima kasih. Saya melihat halaman itu dan saya melihat sekilas apa yang Anda maksudkan, tetapi hubungan dengan momen-momen distribusi tidak jelas. Saya tertarik dan berharap untuk elaborasi lebih lanjut dari ide ini.

whuber

@whuber Periksa dan lihat apakah Anda setuju.

Carl

2

Ya, itu bisa dilakukan. Ketika argumen dari seri ditulis sebagai maka Anda memiliki seri Fourier. Selain itu, hubungan antara momen dan turunannya eksplisit dalam transformasi Fourier: operator diferensiasi diubah menjadi perkalian oleh , secara langsung menunjukkan bagaimana momen terhubung ke turunan dari urutan yang sama.

x

$x$

x = e^{i q}

$x=e^{iq}$

q

$q$

whuber