Proses pencampuran dan pembagian poin

Pada gambar berikut di sebelah kiri dua realisasi proses titik dengan kepadatan (intensitas) dan yang berbeda sedang dicampur dengan pusat area yang dimiliki untuk membangun proses titik di tengah dengan intensitas . Kemudian poin yang dipilih secara acak sebagai dua set diekstraksi dari itu seperti yang ditunjukkan di sisi kanan. Pertanyaan: Apakah ? dan Apakah ? Jika dua di sisi kiri adalah Poisson PP, Apakah yang di tengah adalah Poisson PP? Bagaimana dengan keduanya di sisi kanan?$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu sedikit latar belakang dan notasi. Dalam terminologi umum, biarkan menunjukkan proses titik di dalam pesawat, yang berarti bahwa untuk setiap set Borel, , dalam pesawat, adalah variabel acak bilangan bulat bernilai (termasuk ), yang menghitung bilangan poin di . Selain itu, adalah ukuran untuk setiap realisasi proses titik .$N$$A$$N(A)$$+\infty$$A$$A \mapsto N(A)$$N$

Terkait dengan proses titik adalah ukuran ekspektasi mana ekspektasi selalu didefinisikan dengan baik, karena , tetapi mungkin . Ini dibiarkan sebagai latihan untuk memverifikasi bahwa lagi-lagi ukuran. Untuk menghindari masalah teknis, mari kita asumsikan bahwa , yang juga masuk akal jika prosesnya hanya benar-benar hidup pada set yang dibatasi seperti kotak pada gambar yang diposting OP. Ini menyiratkan bahwa seperti untuk semua .

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ $N(A) \geq 0$$+\infty$$\mu$$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$$N(A) < \infty$$A$

Berikut definisi dan pengamatan berikut.

• Kita katakan bahwa memiliki intensitas jika memiliki kepadatan wrt ukuran Lebesgue, yaitu, jika $N$ $\lambda$$\mu$$\lambda$ $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• Jika dan adalah dua proses titik, kami mendefinisikan superposisi sebagai jumlah . Ini setara dengan melapiskan satu pola titik di atas yang lain.$N_1$$N_2$$N_1 + N_2$
• Jika dan adalah dua proses titik (independen atau tidak) dengan intensitas dan maka superposisi memiliki intensitas .$N_1$$N_2$$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda_1 + \lambda_2$
• Jika dan adalah proses Poisson independen maka superposisi adalah proses Poisson. Untuk menunjukkan ini pertama kita mengamati bahwa adalah Poisson dari sifat konvolusi dari distribusi Poisson, dan kemudian bahwa jika yang menguraikan kemudian yang independen karena dan independen dan Poisson proses sendiri. Dua properti ini mencirikan proses Poisson. $N_1$$N_2$$N_1(A) + N_2(A)$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$$N_1$$N_2$

Ringkasan I: Kami telah menunjukkan bahwa setiap kali titik proses adalah jumlah, atau superposisi, dari dua titik proses dengan intensitas maka superposisi memiliki intensitas jumlah penjumlahan dari intensitas. Jika, apalagi, prosesnya adalah Poisson independen, superposisi adalah Poisson.

Untuk bagian yang tersisa dari pertanyaan kita mengasumsikan bahwa sebagai untuk semua set singleton . Maka proses titik ini disebut sederhana. Proses poisson dengan intensitas sederhana. Untuk proses titik sederhana ada representasi sebagai yaitu, sebagai jumlah langkah Dirac pada titik-titik acak. Jika adalah variabel acak Bernoulli, penjarangan acak adalah proses titik sederhana Cukup jelas bahwa dengan menyatakan bahwa . Jika kita melakukan iid$N(\{x\}) \leq 1$$\{x\}$$N$

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ $Z_i \in \{0,1\}$ $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ $N = N_1 + N_2$penipisan acak, yang berarti bahwa semuanya independen dan terdistribusi secara identik dengan probabilitas keberhasilan , katakanlah, kemudian Dari sini, $Z_i$$p$
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

Jika adalah proses Poisson, harus jelas bahwa untuk disjoint lalu sekali lagi independen, dan Ini menunjukkan bahwa adalah proses Poisson. Demikian pula, adalah proses Poisson (dengan ukuran rata-rata$N$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ $N_1$$N_2$$(1-p)\mu$). Yang tersisa adalah untuk menunjukkan bahwa dan sebenarnya independen. Kami memotong sudut di sini dan mengatakan bahwa sebenarnya cukup untuk menunjukkan bahwa dan independen untuk sewenang-wenang , dan ini mengikuti dari $N_1$$N_2$$N_1(A)$$N_2(A)$$A$ $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Ringkasan II: Kami menyimpulkan bahwa penipisan acak secara acak dengan probabilitas keberhasilan dari proses titik sederhana, , dengan intensitas menghasilkan dua proses titik sederhana, dan , dengan intensitas dan , masing-masing, dan adalah superposisi dan . Apalagi, jika adalah proses Poisson maka dan adalah proses Poisson independen.$p$$N$$\lambda$$N_1$$N_2$$p\lambda$$(1-p)\lambda$$N$$N_1$$N_2$$N$$N_1$$N_2$

Wajar untuk bertanya apakah kita bisa menipis secara mandiri tanpa mengasumsikan bahwa didistribusikan secara identik dan mendapatkan hasil yang serupa. Ini mungkin, tetapi sedikit lebih rumit untuk dirumuskan, karena distribusi kemudian harus dihubungkan ke entah bagaimana. Misalnya, untuk fungsi yang diberikan . Maka dimungkinkan untuk menunjukkan hasil yang sama seperti di atas tetapi dengan intensitas berarti fungsi . Kami melewatkan buktinya. Referensi matematika umum terbaik yang mencakup proses titik spasial adalah Daley dan Vere-Jones$Z_i$$Z_i$$X_i$$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$$p$$p\lambda$$p(x)\lambda(x)$. Statistik dekat kedua yang mencakup dan algoritma simulasi, khususnya, adalah Møller dan Waagepetersen .